Armónicos esféricos
Los armónicos esféricos son importantes en muchas aplicaciones teóricas y prácticas, en particular en la física atómica (dado que la función de onda de los electrones contiene armónicos esféricos) y en la teoría del potencial, que resulta relevante tanto para el campo gravitatorio como para la electrostática.
La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas viene dada por:
Si en esta expresión se consideran soluciones particulares de la forma,
Si a su vez se usa el método de separación de variables a esta última ecuación se puede ver que la ecuación anterior admite soluciones periódicas en las dos coordenadas angulares l es un número entero.
se llama función armónica esférica de grado
así como las condiciones de regularidad en el "polo norte" y "sur" de la esfera, conllevan como se ha dicho que los números el grado l y el orden m necesarios para que se satisfagan deben ser enteros que cumplen:
Existen varias normalizaciones utilizadas para las funciones de armónicos esféricos.
Mientras que en las áreas de geodésica y análisis espectral se utiliza que posee una potencia unitaria En temas de magnetismo, en cambio, se utilizan los armónicos de Schmidt semi-normalizados poseen la siguiente normalización Utilizando la identidad (ver Polinomios asociados de Legendre) se puede demostrar que todas las funciones armónicas esféricas normalizadas mencionadas en los párrafos anteriores satisfacen donde el símbolo * significa conjugación compleja.
, comúnmente identificado como la fase de Condon-Shortley en la literatura relacionada con mecánica cuántica.
No existe ningún requerimiento que obligue a utilizar la fase de Condon-Shortley en la definición de las funciones esféricas armónicas pero, si es que se la incluye, entonces algunas operaciones en el campo de la mecánica cuántica son más simples.
En matemáticas se usa una noción de armónico esférico más amplia que en física.
Dado un polinomio P(x) homogéneo y armónico de grado m sobre
Sobre la esfera unitaria, toda función de cuadrado integrable puede, por lo tanto, ser expandida como una combinación lineal de: Esta expansión es exacta siempre y cuando
Se producirá un error de truncamiento al limitar la suma sobre
pueden obtenerse multiplicando la ecuación precedente por el complejo conjugado de los esféricos armónicos, integrando sobre un ángulo sólido
, y utilizando las relaciones de ortogonalidad indicadas previamente.
Para el caso de armónicos ortonormalizados, se obtiene Un conjunto alternativo de armónicos esféricos para funciones reales puede ser obtenido a partir del conjunto Estas funciones tienen las mismas propiedades de normalización que las funciones complejas indicadas previamente.
El moderno modelo atómico cuántico del átomo de hidrógeno presupone que cada electrón en un estado estacionario de energía del electrón tiene una posición que se distribuye alrededor del núcleo atómico con una distribución de probabilidad cuya variación angular viene dada por un armónico esférico.
tienen un valor promedio igual a cero (o sea los coeficientes espectrales
representan las contribuciones a la varianza y covarianza de la función para el grado
Es común que el espectro de potencia cruzado se pueda aproximar por una power law del tipo Cuando
, el espectro es "blanco" dado que cada grado posee idéntica potencia.
, el espectro se denomina "rojo" ya que existe mayor potencia a grados bajos con longitudes de onda largas que a altos grados.
Sin embargo, debe enfatizarse que la fórmula indicada previamente es válida solo para armónicos esféricos ortonormalizados.
Para armónicos de potencia unitaria es necesario eliminar el factor
ceros, mientras que en sentido longitudinal, las funciones trigonometricas seno y coseno tienen
es nulo o cero, las funciones armónicas esféricas no dependen de la longitud, y se dice que la función es zonal.
, no existen cruces por cero en sentido de las latitudes, y se dice que la función es sectorial.
Cada grupo de armónicos esféricos con un valor dado del parámetro l da lugar a una representación irreductible diferente del grupo SO(3).
Más específicamente, se puede generalizar a la serie hipergeométrica para describir las simetrías de cualquier espacio de simetría; en particular, la serie hipergeométrica puede ser desarrollada para todo grupo de Lie[1][2][3][4] Enlaces externos
