En física, en el estudio de las ondas y de su propagación, la ecuación o fómula de d'Alembert describe la variación en el tiempo y el espacio de una cantidad ondulada.
Lleva el nombre de Jean le Rond d'Alembert, quien la enunció en 1747, como una solución al problema de la cuerda vibrante.
[1] Esta es históricamente la primera ecuación de onda.
La fórmula de D'Alembert es la solución general de la ecuación de onda, una ecuación en derivadas parciales hiperbólica, en un espacio de una dimensión.
Las características de esta ecuación son
x ± c t =
c o n s t
, por lo que usamos el cambio de variables
μ = x + c t , η = x − c t
La solución general a esta última es
u ( μ , η ) =
En términos de las coordenadas
u ( x , t ) =
( x + c t ) +
( x − c t )
{\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)\,}
que se desplazan en direcciones opuestas a lo largo del eje x. Considérese ahora el problema con las condiciones iniciales de Cauchy
Al integrar la última ecuación se obtiene:
Las soluciones del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones última y antepenúltima son
− c g ( x ) −
− c g ( x ) +
u ( x , t ) =
( x + c t ) +
( x − c t )
{\displaystyle u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)\,}
se obtiene la fórmula de d'Alembert:
u ( x , t ) =
g ( x − c t ) + g ( x + c t )
x − c t
x + c t