El método de las características es aplicable a cualquier ecuación diferencial parcial hiperbólica, sin embargo, a menudo se aplica a ecuaciones de primer orden.
El proceso consiste en descomponer una ecuación diferencial parcial en una serie de ecuaciones diferenciales ordinarias, a lo largo de las cuales se puede integrar la respuesta utilizando cierta información inicial proporcionada en una hipersuperficie adecuada.
Para una EDP de primer orden, el método de características descubre curvas (llamadas curvas características o simplemente características) a lo largo de las cuales la EDP se convierte en una ecuación diferencial ordinaria (EDO).
[1] Una vez que se encuentra la ODE, se puede resolver a lo largo de las curvas características y transformarse en una solución para la PDE original.
Considere una PDE cuasilineal de la forma
Un vector normal a esta superficie viene dado por Como resultado,[2] la ecuación (1) es equivalente al enunciado geométrico de que el campo vectorial es tangente a la superficie z = z (x,y) en cada punto, porque el producto escalar de este campo vectorial con el vector normal anterior es cero.
Para que sea cuasilineal,[4] a i también puede depender del valor de la función, pero no de ninguna derivada.
La distinción entre estos dos casos no es esencial para la discusión aquí.
Para una PDE lineal o cuasilineal, las curvas características vienen dadas paramétricamente por tal que se satisface el siguiente sistema de EDO
(3)Las ecuaciones (2) y (3) dan las características de la PDE.
Debemos distinguir entre las soluciones de la ODE y las soluciones de la PDE, que no sabemos que son iguales a priori.
A partir de esto, encontramos que lo anterior está acotado como
Siempre que el ODE todavía tenga una solución en algún intervalo después
Por lo tanto, siempre que la ODE tenga una solución, tenemos
Supongamos que u es cualquier solución y que A lo largo de una solución, derivando (4) con respecto a s da La segunda ecuación se sigue aplicando la regla de la cadena a una solución u, y la tercera se sigue tomando una derivada exterior de la relación
La manipulación de estas ecuaciones da donde λ es una constante.
Como ejemplo, considere la ecuación de advección (este ejemplo asume la familiaridad con la notación PDE y las soluciones a las ODE básicas).
Es decir que a lo largo de las características, la solución es constante.
Por lo tanto, para determinar la solución general, basta encontrar las características resolviendo el sistema característico de las EDO: En este caso, las líneas características son rectas con pendiente
permanece constante a lo largo de cualquier línea característica.
Sea X una variedad diferenciable y P un operador diferencial lineal de orden k. En un sistema de coordenadas local xi, en el que α denota un índice múltiple.
El símbolo principal de P, denotado σP, es la función sobre el fibrado cotangente T∗X definida en estas coordenadas locales por donde ξi son las coordenadas de fibra en el haz cotangente inducido por las coordenadas diferenciales dxi.
Aunque esto se define usando un sistema de coordenadas particular, la ley de transformación que relaciona el ξi y el xi asegura que σP es una función bien definida en el fibrado cotangente.
La función σP es homogénea de grado k en la variable ξ.
Se pueden utilizar las intersecciones de las características para identificar posibles ondas de obstrucción por fluorescencia en un fluido comprimible.
Por lo tanto, cuando dos características se cruzan, la función se vuelve multivaluada, lo que da como resultado una solución no física.
Físicamente, esta contradicción se elimina por la formación de una onda de choque, una discontinuidad tangencial o una discontinuidad débil y puede resultar en un flujo no potencial, violando las suposiciones iniciales.
[5] Parte del dominio de la PDE puede no estar cubierto por las características.
Esto se conoce como rarefacción y muestra que la solución a menudo existe solo en un sentido débil, o el de una ecuación integral.
Este tipo de conocimiento es útil cuando se resuelven EDP numéricamente, ya que puede indicar qué esquema de diferencias finitas es mejor para el problema.