Operador diferencial
Ayuda, como una cuestión de notación, considerar a la diferenciación como una operación abstracta, que acepta una función y regresa otra.
Un operador diferencial se representa como una combinación lineal, finitamente generada por y sus derivados que contienen un grado más alto tal como donde el conjunto de enteros no negativos
son funciones de algún dominio abierto en el espacio n-dimensional y
El uso más común del operador diferencial es realizar la derivada en sí misma.
Esto a veces también se llama el operador de homogeneidad, porque sus funciones propias son los monomios en z:
En n variables el operador de homogeneidad está dado por
Dado un operador diferencial lineal sobre un espacio de funciones reales de una sola variable real con condiciones de contorno homogénea, en el que todas las funciones que intervienen son continuas, existe un operador inverso que es un operador integral.
Dicho operador inverso vienen dado por la función de Green.
Explicitémoslo considerando una ecuación diferencial de orden n sin constante :
Análogamente al caso de una variable, cuando se consideran derivadas respecto a variables diferentes las derivadas parciales pueden escribirse como:
Además con derivadas parciales, se pueden hacer las mismas construcciones que en el caso de una variable.
Un operador lineal en derivadas parciales de orden n tiene la forma:
Uno de los operadores diferenciales que se ve con más frecuencia es el operador laplaciano, que en coordenadas cartesianas se expresa
Si Ω es un dominio en Rn y P un operador diferencial en Ω, entonces el adjunto de P se define en L2 (Ω) por la dualidad de la manera análoga: Para todas las funciones L2 suaves f, g. Como las funciones suaves son densas en L2, esto define el adjunto en un subconjunto denso de L2: P * es un operador densamente definido.
Si Ω es un dominio en Rn y P un operador diferencial en Ω, entonces el adjunto de P se define en L2 (Ω) por la dualidad de la manera análoga: En la geometría diferencial y la geometría algebraica es con frecuencia conveniente tener una descripción independiente de las coordenadas de los operadores diferenciales entre dos grupos vectoriales.
Se dice que un operador P es un operador diferencial de orden k-ésimo si los factores a través del chorro del fibrado
En otras palabras, existe un mapeo lineal de conglomerados vectoriales
y I el ideal de dos caras generado por los elementos
En geometría diferencial y geometría algebraica a menudo es conveniente tener una descripción independiente de coordenadas de operadores diferenciales entre dos haces vectoriales.
Sea E y F dos haces vectoriales sobre un múltiple diferenciable M. Se dice que un mapeo R-lineal de secciones P: Γ (E) → Γ (F) es un operador diferencial lineal de orden k si factoriza a través del haz de chorro Jk (E).
En otras palabras, existe un mapeo lineal de haces vectoriales
Esta caracterización de los operadores diferenciales lineales muestra que son mapeos particulares entre módulos sobre un álgebra conmutativa, permitiendo que el concepto sea visto como una parte del álgebra conmutativa.
[2] El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.
[3][4][5] Esta metodología se originó a partir del desarrollo del método de Newton-Raphson fraccional [6] y trabajos relacionados posteriores.
[7][8][9] El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que trata con derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional.
En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L’Hopital en una carta que "... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles".
El nombre "cálculo fraccional" se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden
En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera: Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que
se define utilizando notación de Einstein:[10] Denotando
, se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales [11] [7]:
