[1] La función de Green recibe ese nombre por el matemático británico George Green, que desarrolló el concepto hacia 1830.
El término también aparece en física, particularmente en teoría cuántica de campos, para referirse a varios tipos de funciones de correlación y operadores integrales para ciertas magnitudes calculables a partir del operador de campo.
Para explicar qué es la función de Green consideremos un operador diferencial lineal L que actúa sobre cierto espacio de funciones definidas sobre una variedad diferenciable M, y pongamos que pretendemos resolver la ecuación diferencial: (1)
{\displaystyle L[G(x,s)]=\delta (x-s)\,}
Si se puede hallar una función G que cumpla la ecuación (2) entonces la solución de la ecuación (1) sea cual sea la función f puede escribirse en la forma: (3)
Por tanto, tenemos la siguiente relación entre el operador integral dado por la función de Green y el operador diferencial asociado a la ecuación diferencial:
Para definir la función de Green que hace de núcleo integral del operador que resuelve cierta ecuación diferencial inhomogénea es necesario introducir algunos conceptos.
Empezando con un operador diferencial de Sturm-Liouville
Este es un problema regular, lo cual significa, que para la ecuación homogénea la única solución existente es la solución trivial.
Dicha solución viene además dada por la siguiente expresión: En la cual G (x, s) es la función de Green que satisface las siguientes condiciones: Dado el problema
Donde la última línea representa las condiciones de contorno o frontera.
Para encontrar la función de Green del problema anterior se siguen los siguientes pasos:
Dicha solución existe para cualquier función
En el caso de un oscilador armónico tenemos la siguiente ecuación diferencial
Supondremos que F(t) es de la forma:
La solución que cumple las condiciones de contorno: viene dada por:
la solución particular de la ecuación homogénea que verifica:
La solución de la ecuación inhomogénea viene dada por tanto:
Si un operador diferencial lineal L admite un conjunto de “vectores propios”
que formen un conjunto completo, entonces podemos construir una función de Green a partir de estos vectores propios y valores propios.
satisface la siguiente relación de completitud: Y puede demostrarse además que: Ahora considerado la actuación en esta ecuación del operador L a cada la tenemos la relación buscada.
y se aplica la regla de la cadena para el operador
: Conectando esto con el teorema de la divergencia, llegamos al teorema de Green: Supongamos ahora que nuestro operador diferencial lineal L es el laplaciano,
, y que tenemos una función de Green G para el laplaciano.
Entonces la integral se reduce a simplemente
debido a la propiedad definitoria de la función delta de Dirac y tenemos: Esta forma expresa la propiedad bien conocida de las funciones armónicas, de que si el valor o la derivada normal se conoce en una superficie delimitadora, entonces el valor de la función dentro del volumen se conoce en todas partes.
como la densidad de carga eléctrica, y la derivada normal
como el componente normal del campo eléctrico.
desaparece cuando x o x' está en la superficie delimitadora; por el contrario, si estamos interesados en resolver un problema de valor con condiciones de Von Neumann, elegimos nuestra función de Green tal que su derivada normal desaparece en la superficie delimitadora.
Por lo tanto, nos queda solo uno de los dos términos en la integral superficial.