En matemática, las condiciones de frontera de Cauchy en ecuaciones diferenciales ordinarias o en ecuaciones diferenciales parciales imponen valores específicos a la solución de una ecuación diferencial que se toma de la frontera del dominio y de la derivada normal a la frontera.
Su nombre hace honor al prolífero matemático francés del siglo XIX Augustin Louis Cauchy.
Las condiciones de Cauchy son también llamadas condiciones de valor inicial o valores iniciales o simplemente valores de Cauchy.
Las derivadas parciales pueden ser escritas de una forma más simple de la siguiente: Definamos una ecuación diferencial parcial de segundo orden: Tenemos un dominio de dos dimensiones cuya frontera es una línea, que puede ser descrita por las siguientes ecuaciones paramétricas: así, de manera similar que en las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, necesitamos ahora conocer el valor de la función en la frontera y su derivada normal a esta para hallar la solución de la ecuación diferencial parcial, es decir, que: sean especificados en cada punto de la frontera en el dominio dado por la ecuación diferencial parcial, donde
Por el contrario, el término media ponderada significa que durante el análisis de un determinado problema de valor de frontera, se debe tener en cuenta toda la información disponible para su buen planteado y posterior solución satisfactoria.
Una mezcla entre las condiciones de frontera de Dirichlet y Neumann está dada por donde se entiende que
deben darse en la frontera (esto contrasta con el término condiciones de frontera mixtas, que es generalmente usado para referirse a condiciones de frontera de tipos diferentes en subgrupos distintos de frontera).
Definamos la ecuación del calor en un espacio bidimensional así: donde
es la constante específica del material llamada conductividad térmica, y suponemos que tal ecuación está aplicada a una región
, que esta sobre el semidisco céntrico al origen del radio
, de donde podemos concluir que ambos pueden ser iguales a una misma constante Así tenemos ambas ecuaciones: la primera en variables espaciales y una segunda con la variable temporal Una vez que se imponen las condiciones de frontera, la solución de la ecuación diferencial ordinaria en el tiempo es donde A es una constante que puede ser definida de las condiciones iniciales.
, finalmente obtenemos un par de ecuaciones diferenciales ordinarias que se pueden imponer condiciones de frontera para definirlas.