La ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial en derivadas parciales usada en mecánica clásica y mecánica relativista que permite encontrar las ecuaciones de evolución temporal o de "movimiento".
La ecuación de Hamilton-Jacobi (EHJ) permite una formulación alternativa a la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana (y por tanto a la mecánica newtoniana, basada en el intento de integración directa de las ecuaciones de movimiento).
Por esto, la EHJ constituye una meta largamente perseguida de la física teórica desde Johann Bernoulli, en el siglo XVIII, que buscó una analogía entre la propagación de ondas y partículas.
Esta razón fue la que llevó a Schrödinger a buscar una ecuación para la "mecánica ondulatoria" o mecánica cuántica generalizando la ecuación de Hamilton-Jacobi (en lugar de usar los otros enfoques alternativos de la mecánica clásica).
Incluso la primera ecuación para mecánica cuántica relativista, la ecuación de Klein-Gordon, se basó en la EHJ relativista en lugar de otros enfoques alternativos.
La ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación en derivadas parciales no lineal para la función principal de Hamilton
Tal como se describe en este artículo, esta ecuación puede ser deducida de la mecánica hamiltoniana considerando a
como la función generatriz de una transformación canónica.
con respecto a las propias coordenadas generalizadas: (2)
Análogamente, las coordenadas generalizadas se pueden obtener como derivadas respecto a los nuevos momentos conjugados, tal como se describe más adelante.
Invirtiendo estas ecuaciones algebraicamente, uno puede encontrar las ecuaciones de evolución del sistema mecánico, determinando la variación de las coordenadas con el tiempo.
Las constantes de integración en este método usualmente coinciden con integrales del movimiento como la energía, el momento angular o el vector de Runge-Lenz.
sólo interviene en la EHJ a través de sus derivadas primeras una de estas constantes será aditiva y por tanto una integral completa de la ecuación tendrá la forma:[1] (3)
Donde las n+1 constantes son precisamente α1, ..., αn y A.
Invirtiendo estas ecuaciones para despejar las coordenadas generalizadas qi se obtienen dichas coordenadas como función del tiempo y de 2n coordenadas, tal como se habría obtenido por los métodos de la mecánica lagrangiana o la mecánica hamiltoniana.
Esta solución puede ser justificada si pensamos en la función
como la función generatriz de una transformación canónica, donde las constantes α1, ..., αn representan los nuevos momentos conjugados asociados a dicha transformación, del hecho que f sea una función generatriz de segundo tipo implicará que:
Pero como la función f satisface la ecuación de Hamilton-Jacobi la nueva hamiltoniana
Y por tanto la solución trivial del anterior sistema es αi = cte.
En ese caso puede buscarse una solución de la forma: (5b)
Una coordenada cíclica es siempre un caso particular en el que la ecuación de Hamilton-Jacobi puede escribirse en forma (5a) pudiéndose lograr la reducción de la ecuación en una variable mediante el cambio: (6)
Para un sistema conservativo el tiempo t se comporta de manera análogo a una coordenada cícilica,[2] como se puede ver a partir de la forma de la solución (5c).
De la propia definición del funcional de acción se sigue trivialmente la siguiente relación entre la acción y el lagrangiano:
Por otra parte , considerando la acción como una función de las coordenadas, los momentos conjugados y el tiempo se tiene que:
De esta última ecuación se deduce simplemente que:
Ya que el segundo término coincide precisamente con la definición del Hamiltoniano.
puede obtenerse el límite clásico de dicha ecuación:
La formulación basada en la ecuación de Hamilton-Jacobi es la primera formulación completa de la mecánica clásica que es aplicable tanto a partículas como a ondas.
relación que una vez introducida en la ecuación de Schrödinger lleva al siguiente límite clásico:
Ecuación que coincide con la ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula en un potencial V(x), excepto por un término adicional, que resultaría despreciable en el nivel macroscópico dada la pequeñez de la constante de Planck