Coordenadas elípticas
Las coordenadas elípticas son un sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonales en los que las líneas coordenadas son elipses confocales e hipérbolas.
están generalmente fijos en las posiciones
de un sistema cartesiano cuyos ejes son ejes de simetría de las líneas coordenadas hiperbólicas y elípticas.
Las coordenadas elípticas cilíndricas son un sistema tridimensional obtenido haciendo rotar el sistema anterior alrededor del eje de focos y añadiendo una coordenada angular polar adicional.
Para un espacio lR2 La transformación a coordenadas elípticas es un cambio en lR2 que viene dado por (x,y) = Φ (r,φ) donde:[1] donde a y b son constantes.
Se puede apreciar que la transformación a elípticas no es más que la composición una transformación a polares seguida de una dilatación por un factor a según el eje x y por un factor b según el eje y.
Por ello, es inyectiva en el mismo conjunto que la transformación a polares, es decir, en (0,∞) x [0,2π)
El jacobiano de la transformación es: En un espacio lR3 Se define el sistema de coordenadas elipsoidales (x,y,z) = Φ (r,θ,φ) mediante las siguientes coordenadas de transformación:[2]
El volumen de un elemento en coordenadas elipsoidales equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales, y el Jacobiano es la fracción de las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas por las derivadas parciales de las coordenadas elípticas, por lo que: Por lo tanto:
La definición más común de las coordenadas elípticas bidimensionales
Donde: En el plano complejo, existe una relación equivalente dada por:
x + i y = a
cosh ( μ + i ν )
Estas definiciones corresponde a elipses e hipérbolas.
constante son elipses, mientras que la identidad trigonométrica hiperbólica:
constante son hipérbolas.
Las aplicaciones clásicas de las coordenadas elípticas son resolución de ecuaciones en derivadas parciales como la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para las que las coordenadas elípticas admiten separación de variables.
Un ejemplo típico es la carga eléctrica que rodea a un conductor plano de anchura 2a.
O el campo de dos cargas eléctricas puntuales del mismo signo a una distancia 2a.
