Variedad proyectiva
Lo contrario no es cierto en general, pero el lema de Chow describe la estrecha relación entre estas dos nociones.
Para demostrar que una variedad es proyectiva se estudian los paquetes de rectas o los divisores en X.
Se dispone de una teoría particularmente rica, que se remonta a los clásicos, para variedades proyectivas complejas, es decir, cuando los polinomios que definen X tienen coeficientes complejos.
En términos generales, el principio GAGA dice que la geometría de los espacios (o variedades) analíticos complejos proyectivos es equivalente a la geometría de las variedades complejas proyectivas.
está cubierto por los mapas afines abiertos estándar que a su vez son n-espacios afines con el anillo de coordenadas Ahora, se hace que i = 0 para simplificar la notación y se elimina el superíndice (0).
es un esquema que es una unión de (n + 1) copias del n-espacio afín kn.
Esto lleva a una noción mucho más flexible: por un lado, el espacio topológico
Es decir, dado un espacio vectorial de dimensión finita V sobre k, sea donde
en un esquema X sobre S se dice que es muy amplio en relación con S si existe una immersión (es decir, una inmersión abierta seguida de una inmersión cerrada) para algunos n para que
Esto se debe a que solo las constantes son globalmente funciones regulares en una variedad proyectiva.
[11] Como el ideal primo P que define una variedad proyectiva X es homogéneo, el anillo de coordenadas homogéneas es un álgebra graduada, es decir, se puede expresar como la suma directa de sus componentes graduados: Existe un polinomio P tal que
La primera forma es definirlo como la cardinalidad del conjunto finito donde d es la dimensión de X y Hi son hiperplanos en "posiciones generales".
Las "posiciones generales" pueden precisarse, por ejemplo, mediante la teoría de la intersección, y se requiere que la intersección sea propia y que las multiplicidades de los componentes irreducibles sean todas uno.
Sea X una variedad proyectiva y L un conjunto de líneas rectas.
Como consecuencia del teorema de Riemann-Roch, dicha curva puede incluirse como una subvariedad cerrada en
no es solo un grupo abeliano abstracto, sino que existe una variedad llamada variedad jacobiana de X, Jac(X), cuyos puntos son iguales a este grupo.
Para una curva X de género g, Jac(X) tiene dimensión g. Las variedades, como la variedad jacobiana, que son completas y tienen una estructura de grupo, se conocen como variedades abelianas, en honor a Niels Henrik Abel.
Además, admiten un paquete de rectas amplio y, por tanto, son proyectivos.
Entonces la proyección de E es el morfismo (bien definido) La descripción geométrica de esta aplicación es la siguiente:[18] Las proyecciones se pueden utilizar para reducir la dimensión en la que está embebida una variedad proyectiva, hasta el morfismo finito.
Se puede utilizar el mismo procedimiento para mostrar el siguiente resultado ligeramente más preciso: dada una variedad proyectiva X sobre un cuerpo perfecto, existe un morfismo birracional finito desde X hasta una hipersuperficie H en
Si V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre k, entonces, por la misma razón que antes,
Sea X un esquema proyectivo sobre un cuerpo (o, más generalmente, sobre un anillo noetheriano A).
en X satisface los siguientes teoremas importantes debidos a Serre: Estos resultados se demuestran reduciendo al caso
El mismo resultado es válido para los morfismos propios f, como se puede demostrar con la ayuda del lema de Chow.
localmente libre en X, donde el superíndice primo se refiere al espacio dual y
Una generalización a esquemas proyectivos, pero no necesariamente suaves, se conoce como dualidad de Verdier.
sobre k tal que, para cualquier k-esquema T, existe una biyección El subesquema cerrado de
Afirma que toda subvariedad analítica de un espacio proyectivo complejo es algebraica.
Aquí, g es la dimensión del toro y L es una red (también conocida como par fundamental de períodos).
La anulación de Kodaira en general falla en una variedad proyectiva suave en característica positiva.
