En teoría de números y geometría algebraica, un punto racional de una variedad algebraica es un punto cuyas coordenadas pertenecen a un cuerpo determinado.
Una variedad proyectiva X en un espacio proyectivo \mathbb P^n sobre un cuerpo k se puede definir mediante una colección de ecuaciones de polinomios homogéneos en las variables
De manera más general, sea X un esquema sobre un cuerpo k. Esto significa que se genera un morfismo de esquemas f: X → Espec(k).
Esto concuerda con las definiciones anteriores cuando X es una variedad afín o proyectiva (vista como un esquema sobre k).
Por otro lado, en la terminología de la geometría algebraica, la variedad algebraica X sobre \R no está vacía, porque el conjunto de puntos complejos X(\C) no está vacío.
De manera más general, para un esquema X sobre el anillo conmutativo R y cualquier R-álgebra conmutativa S, el conjunto X(S) de puntos S de X significa el conjunto de morfismos Espec(S) → X sobre Spec(R).
El esquema X está determinado hasta el isomorfismo por el funtor S ↦ X(S); esta es la filosofía de identificar un esquema con su funtor de puntos.
[1] Si k es el cuerpo \Q de los números racionales (o más generalmente, un cuerpo de números algebraicos), existe un algoritmo para determinar si una cónica dada tiene un punto racional, basándose en el principio de Hasse: una cónica sobre \Q tiene un punto racional si y solo si tiene un punto sobre todas las terminaciones de \Q,, es decir, sobre \R y todos los cuerpos p-ádicos \Q_p.
Es más difícil determinar si una curva de género 1 tiene un punto racional.
El principio de Hasse falla en este caso: por ejemplo, según Ernst Selmer, la curva cúbica
Si X es una curva de género 1 con un punto racional k p0, entonces X se llama curva elíptica sobre k. En este caso, X tiene la estructura de un grupo algebraico conmutativo (con p0 como elemento cero), por lo que el conjunto X(k) de puntos racionales k es un grupo abeliano.
El teorema de Mordell-Weil dice que para una curva elíptica (o, más generalmente, una variedad abeliana) X sobre un cuerpo numérico k, el grupo abeliano X(k) está finitamente generado.
Los programas de álgebra informática pueden determinar el grupo X(k) de Mordell-Weil en muchos ejemplos, pero no se sabe si existe un algoritmo que siempre tenga éxito en calcular este grupo.
Por ejemplo, el último teorema de Fermat (probado por Richard Taylor y Andrew Wiles) es equivalente a la afirmación de que para un número entero n al menos 3, los únicos puntos racionales de la curva
No se sabe si existe un algoritmo para encontrar todos los puntos racionales en una curva arbitraria de género al menos 2 en un cuerpo numérico.
En la dimensión 1, este es exactamente el teorema de Faltings, ya que una curva es de tipo general si y solo si tiene género al menos 2.
[8] Un caso conocido es que cada superficie cúbica en \mathbb P^3 sobre un cuerpo numérico k tiene puntos racionales potencialmente densos, porque (más fuertemente) se convierte en racional sobre alguna extensión finita de k (a menos que sea un cono sobre una curva cúbica plana).
Esto solo se sabe en casos especiales, por ejemplo si X posee una fibración elíptica.
[9] Cabe preguntarse cuándo una variedad tiene un punto racional sin ampliar el cuerpo base.
En el caso de una hipersuperficie X de grado d en \mathbb P^n sobre un cuerpo numérico, hay buenos resultados cuando d es mucho más pequeño que n, a menudo basándose en el método del círculo de Hardy-Littlewood.
Por ejemplo, el teorema de Hasse-Minkowski afirma que el principio de Hasse se aplica a hipersuperficies cuádricas sobre un cuerpo numérico (el caso d= 2).
Christopher Hooley demostró el principio de Hasse para hipersuperficies cúbicas suaves en \mathbb P^n sobre \Q cuando n ≥ 8.
[10] En dimensiones superiores, también es cierto que: cada cúbica suave en \mathbb P^n sobre \Q tiene un punto racional cuando n ≥ 9, proposición demostrada por Roger Heath-Brown.
[11] De manera más general, el teorema de Birch dice que para cualquier entero positivo impar d, existe un entero N tal que para todo n ≥ N, cada hipersuperficie de grado d en \mathbb P^n sobre \Q tiene un punto racional.
Por ejemplo, el principio de Hasse falla para la superficie cúbica lisa
en \mathbb P^3 sobre \Q, proposición demostrada por Ian Cassels y Richard Guy.
[12] Jean-Louis Colliot-Thélène ha conjeturado que la obstrucción de Brauer-Manin es la única obstrucción al principio de Hasse para superficies cúbicas.
De manera más general, eso debería ser válido para cada variedad racional sobre un cuerpo numérico.
Por ejemplo, al extender el trabajo de Beniamino Segre y Yuri Manin, János Kollár mostró: para una hipersuperficie cúbica X de dimensión al menos 2 sobre un cuerpo perfecto k con X que no es un cono, X es unirracional sobre k si tiene un punto racional k.[14] En particular, para k infinito, la uniracionalidad implica que el conjunto de puntos racionales k es denso de Zariski en X.
Por ejemplo, si X es una curva proyectiva suave de género g sobre un cuerpo k de orden q (una potencia prima), entonces Para una hipersuperficie suave X de grado d en \mathbb P^n sobre un cuerpo k de orden q, el teorema de Deligne da el límite:[15] También hay resultados significativos sobre cuándo una variedad proyectiva sobre un cuerpo finito k tiene al menos un punto racional k. Por ejemplo, el teorema de Chevalley-Warning implica que cualquier hipersuperficie X de grado d en \mathbb P^n sobre un cuerpo finito k tiene un punto racional k si d ≤ n. Para X suave, esto también se deriva del teorema de Hélène Esnault de que cada variedad proyectiva suave conectada racionalmente en cadena, por ejemplo cada variedad de Fano sobre un cuerpo finito k, tiene un punto racional k.[16]