Conjeturas de Weil

Las conjeturas se refieren a las funciones generadoras (conocidas como funciones zeta locales) derivadas de contar el número de puntos en variedades algebraicas sobre campos finitos.La racionalidad fue probada por Bernard Dwork, la ecuación funcional por Alexander Grothendieck, y el análogo de la hipótesis de Riemann por Pierre Deligne (1974).En el artículo 358, pasa de los períodos que construyen torres de extensiones cuadráticas, para la construcción de polígonos regulares; y supone que p es un número primo tal que p − 1 es divisible por 3.Tomando los períodos (sumas de raíces de la unidad) correspondientes a estas clases laterales aplicadas a exp(2πi/p), observó que estos períodos tienen una tabla de multiplicación que es accesible para el cálculo.Los productos son combinaciones lineales de los períodos, y determinó sus coeficientes.Por su parte, Weil probó el caso de las curvas sobre campos finitos, terminando el proyecto iniciado por el teorema de Hasse sobre curvas elípticas sobre campos finitos.La analogía con la topología sugirió que se estableciera una nueva teoría homológica aplicable dentro de la geometría algebraica.Supóngase que X es una variedad algebraica proyectiva n dimensional no singular sobre el campo Fq con q elementos.Las conjeturas de Weil indican: El ejemplo más simple (que no sea un punto) es tomar X como la recta proyectiva.No es mucho más difícil comprobarlo con el espacio proyectivo n dimensional.La función zeta es Nuevamente es fácil verificar todas las partes de las conjeturas de Weil directamente (el espacio proyectivo complejo da los números Betti relevantes, que casi determinan la respuesta).Si E es una curva elíptica sobre un campo finito con q elementos, entonces el número de puntos de E definidos sobre el campo con qm elementos es 1 − αm − βm + qm, donde α y β son conjugados complejos con valor absoluto √q.Sin embargo, no elimina la posibilidad de que el campo del coeficiente sea el campo de los números l-ádicos para algunos primos l ≠ p, porque sobre estos campos la división del álgebra se divide y se convierte en un álgebra matricial, que puede actuar en un espacio vectorial bidimensional.Grothendieck y Michael Artin lograron construir teorías de cohomología adecuadas sobre el campo de los números l-ádicos para cada primo l ≠ p, llamadas cohomologías l-ádicas.De manera más general, Grothendieck demostró una fórmula similar para la función zeta (o "función L generalizada") de un haz F0: como producto sobre grupos de cohomología: El caso especial del haz constante proporciona la función zeta habitual.Mucho del trabajo de fondo sobre cohomología l-ádica es descrito en (Deligne, 1977).En la práctica, es esta generalización, más que las conjeturas originales de Weil, la que se usa principalmente en aplicaciones, como el Teorema de Lefschetz duro.La idea adicional principal necesaria es un argumento estrechamente relacionado con el teorema de Jacques Hadamard y de la Vallée Poussin, utilizado por Deligne para mostrar que varias series L no tienen ceros con la parte real 1.Un haz construible en una variedad sobre un campo finito se llama puro de peso β si para todos los puntos x los valores propios del Frobenius en x tienen valor absoluto N(x)β/2, y se llama mezcla de peso ≤ β si puede escribirse como extensiones repetidas de haces puros con pesos ≤ β..Las conjeturas originales de Weil siguen tomando f para ser un morfismo de una variedad suave y proyectiva a un punto y considerando la constante gavilla Q l en la variedad.