En matemáticas, un haz de vectores holomorfos es un haz de vectores complejos sobre una variedad compleja X, tal que el espacio total E es una variedad compleja y la aplicación proyectiva π : E → X es holomorfa.
Ejemplos fundamentales son el haz tangente holomorfo de una variedad compleja y su dual, el haz cotangente holomorfo.
Específicamente, se requiere que las aplicaciones de trivialización sean biholomorfas.
Esto equivale a exigir que la función de transición sea una aplicación holomorfa.
La estructura holomorfa en el paquete tangente de una variedad compleja está garantizada por la observación de que la derivada (en el sentido apropiado) de una función holomorfa valorada por un vector es en sí misma holomorfa.
Sea E un paquete de vectores holomorfos.
Una sección local s : U → E|U se dice que es holomorfa si, en una vecindad de cada punto de U, es holomorfa en alguna (equivalentemente cualquier) trivialización.
Este paquete a veces se denomina
Tal haz siempre es localmente libre y tiene el mismo rango que el rango del paquete de vectores.
Si E es el paquete de líneas trivial
cuyas secciones globales corresponden a polinomios homogéneos de grado
corresponde al paquete de líneas trivial.
Ahora, si se considera el paquete trivial
, se pueden formar funciones de transición inducidas
en la fibra, entonces se pueden formar funciones de transición
Dado que los paquetes de vectores necesariamente retroceden, cualquier subvariedad holomorfa
Supóngase que E es un paquete de vectores holomorfos.
Ahora, se define un operador localmente mediante donde
Este operador está bien definido en todo E porque en una superposición de dos trivializaciones
, y así porque las funciones de transición son holomorfas.
es el operador de Dolbeault asociado como se construyó anteriormente.Con respecto a la estructura holomorfa inducida por un operador de Dolbeault
Esto es conceptualmente similar a la definición de una variedad suave o compleja como espacio anillado.
Es decir, basta con especificar qué funciones en una variedad topológica son suaves o complejas para darle una estructura suave o compleja.
denota el haz de formas diferenciales C∞ del tipo (p, q), entonces el haz de formas tipo (p, q) con valores en E se puede definir como el producto tensorial Estos paquetes son finos, lo que significa que admiten particiones de la unidad.
del haz de funciones holomorfas que no desaparecen.
Sea E un paquete de vectores holomorfos en una variedad compleja M, y supóngase que existe una mátrica hermítica en E; es decir, las fibras Ex están equipadas con productos internos <·,·> que varían suavemente.
Entonces existe una connection ∇ única en E que es compatible tanto con la estructura compleja como con la estructura métrica, llamada conexión Chern; es decir, ∇ es una conexión tal que De hecho, si u= (e1, …, en) es un marco holomorfo, entonces sea
, que se escribe de manera más simple como: Si u'= ug es otro cuadro con un cambio holomorfo de base g, entonces y entonces ω es de hecho una forma de conexión, dando lugar a ∇ por ∇s= ds + ω · s. Ahora, dado que
Finalmente, dado que ω es una forma (1, 0), el componente (0, 1) de
es cuadrado a cero según la definición de un operador de Dolbeault, Ω no tiene componente (0, 2) y dado que se muestra fácilmente que Ω es sesgado-hermítico,[3] tampoco tiene componente (2, 0).