En las variedades no complejas, también desempeñan un papel en el estudio de la estructura cuasi-compleja, la teoría de los espinores y la estructura CR.
El conjunto de formas (p,q) se convierte en el objeto primitivo de estudio, y determina una estructura geométrica más fina en la variedad que las formas k. Existen estructuras aún más finas, por ejemplo, en los casos en que se aplica la teoría de Hodge.
Primero descomponer las coordenadas complejas en sus partes reales e imaginarias: zj=xj+iyj para cada j. Dejar uno ve que cualquier forma diferencial con coeficientes complejos se puede escribir únicamente como una suma Sea Ω1,0 el espacio de formas diferenciales complejas que contienen solo
Se puede demostrar, mediante las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que los espacios Ω1,0 y Ω0,1 son estables bajo cambios de coordenadas holomorfas.
Al igual que con los dos espacios de 1-formas, estos son estables bajo cambios holomorfos de coordenadas, y por lo tanto determinan haces vectoriales.
Más sucintamente, hay una descomposición suma directa Debido a que esta descomposición de suma directa es estable bajo cambios de coordenadas holomorfas, también determina una descomposición de fibrado vectorial.
En particular, para cada k y cada p y q con p+q=k, hay una proyección canónica de haces vectoriales La derivada exterior habitual define un mapeo de secciones
como: La derivada exterior no refleja por sí misma la estructura compleja más rígida del colector.
y las proyecciones definidas en la subsección anterior, es posible definir los operadores de Dolbeault: Para describir estos operadores en coordenadas locales, dejemos donde I y J son multiíndices.