La notación multi-índice es un tipo de abreviación usado en cálculo de varias variables y análisis funcional para escribir abreviadamente ciertas expresiones matemáticas.
Esencialmente, un multi-índice
es una n-tupla de números enteros, cuya medida
viene dada por:
n
n
Se define
{\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\alpha _{2}!\dots \alpha _{n}!}
Esta notación multi-índice simplifica muchas fórmulas utilizadas en el cálculo multivariable, en las ecuaciones diferenciales parciales o en la teoría de distribuciones, al generalizar el concepto de una índice entera a una tupla ordenada de índices.
Los multi-índices son frecuentemente usados para resumir derivadas parciales de una función de n variables:
{\displaystyle D^{\alpha }f\equiv {\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\,.}
Los multi-índices pueden usarse para abreviar de manera sencilla la escritura de un monomio del anillo de polinomios
n
{\displaystyle K[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]}
, escrita mediante multi-índice
, representa el monomio de n variables dado por
n
Un n -dimensional multiíndice es una n-tupla
de enteros no negativos (es decir, un elemento del conjunto de números naturales de n, denotado
α , β ∈
{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
se define:
α ± β = (
α ≤ β
i ∈ { 1 , … , n }
α β
( α − β ) !
k α
{\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}}
A veces también se utiliza la notación