[1][2] En el cálculo monovariable, operaciones como la diferenciación y la integración se realizan con funciones de una sola variable.
En el cálculo multivariante, es necesario generalizarlas a múltiples variables, y el dominio es, por tanto, multidimensional.
Las directivas límites y derivadas definen el límite y la diferencial a lo largo de una curva parametrizada 1D, reduciendo el problema al caso 1D.
El cálculo multivariable, una extensión del cálculo de una sola variable, se centra en funciones de múltiples variables y sus derivadas e integrales.
Su historia está profundamente entrelazada con la evolución del cálculo, que surgió a finales del siglo XVII gracias al trabajo pionero de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz.
[5] Siglo XVII: El nacimiento del cálculo Newton y Leibniz desarrollaron de manera independiente las bases del cálculo, enfocándose en funciones de una sola variable y los conceptos de diferenciación e integración.
Las primeras aplicaciones del cálculo, como el trabajo de Newton sobre el movimiento planetario, insinuaban la necesidad de técnicas multivariables, pero se mantuvieron principalmente en una dimensión.
[6] Siglo XVIII: Primeros desarrollos en el cálculo multivariable El siglo XVIII vio cómo matemáticos como Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange ampliaron el cálculo a funciones de varias variables.
Euler introdujo las derivadas parciales, un concepto fundamental en el cálculo multivariable.
[6] Siglo XIX: Formalización y expansión En el siglo XIX, matemáticos como Carl Friedrich Gauss, Augustin-Louis Cauchy y George Green avanzaron en la formalización del cálculo multivariable.
Estas ideas fueron posteriormente generalizadas a dimensiones superiores por George Gabriel Stokes y William Rowan Hamilton.
[6] Al mismo tiempo, Carl Gustav Jacobi y Évariste Galois exploraron el determinante jacobiano, crucial para transformar variables en integrales.
Estos desarrollos destacaron la versatilidad del cálculo multivariable en campos como la mecánica, el electromagnetismo y la dinámica de fluidos.
Siglo XX: Integración con las matemáticas modernas En el siglo XX, el cálculo multivariable encontró nuevas aplicaciones en la física, la ingeniería y la economía.
Además, los avances en álgebra lineal y cálculo tensorial ampliaron el alcance del cálculo multivariable para analizar espacios de dimensiones superiores.
Su evolución histórica refleja la búsqueda humana por comprender y describir el complejo mundo multidimensional que habitamos.
Por ejemplo, la función tiende a cero siempre que la aproximación al punto
Sin embargo, cuando la curva de aproximación al origen es una parábola
Dado que tomar diferentes caminos hacia el mismo punto produce diferentes valores límite, no existe un límite general en el citado punto.
Considérese Es fácil verificar que esta función es cero por definición en el límite y fuera del cuadrángulo
Una derivada parcial de una función multivariable es una derivada con respecto a una variable, en la que todas las demás variables se mantienen constantes.
Estas ecuaciones son generalmente más difíciles de resolver que las ecuaciones diferenciales ordinarias, que contienen derivadas con respecto a una sola variable.
[1]: 367ff La integral de superficie y la integral de longitud se utilizan sobre variedades curvas, como superficies y curvas.
El enlace entre la derivada y la integral en el cálculo multivariable está incorporado por los teoremas integrales del cálculo vectorial:[1]: 543ff En un estudio más avanzado del cálculo multivariable, se ve que estos cuatro teoremas son encarnaciones específicas de un teorema más general, el Teorema de Stokes generalizado, que se aplica a la integración de forma diferencial sobre variedades diferenciables.
En particular, El cálculo multivariable se puede aplicar para analizar los sistemas deterministas que tienen múltiples grados de libertad.
Las funciones con variables dependientes e independientes correspondientes a cada uno de los grados de libertad a menudo se usan para modelar estos sistemas, y el cálculo multivariable proporciona herramientas para caracterizar la dinámica de sistemas.
El cálculo multivariable se utiliza en el control óptimo de sistemas dinámicos en tiempo continuo.
En economía, por ejemplo, la teoría del consumidor sobre una variedad de productos, y la maximización del beneficio sobre varias entradas y salidas, se modelan con cálculos multivariable.