Programa de Erlangen

Empieza a no estar tan claro que la Geometría sea el estudio de puntos, líneas (rectas o curvas) y superficies, puesto que el propio Análisis Matemático (sobre todo en el estudio de Ecuaciones Diferenciales) parece estudiar también tales objetos.

Por otra parte, los métodos analíticos y algebraicos también son aplicables a las geometrías no euclidianas.

Mientras que la mayoría de la gente está familiarizada con las operaciones numéricas, les resulta difícil imaginar que puedan operarse puntos, rectas, etc.

Uno a priori dice qué tipo de transformaciones admitirá (es decir, establece el grupo) y todo lo demás se puede reconstruir a partir de él.

El descubrimiento de Klein es fundamental, ya que por un lado nos permite clasificar las geometrías, comprendiendo cuál es una "subgeometría" de cual, por otro lado nos permite comprender qué es el estudio general de la Geometría (como disciplina matemática) y por último, pero no menos importante, es la confirmación de que los métodos sintético y algebraico no dan geometrías distintas, sino que realmente estudian la misma geometría en cada caso.

Nótese que es la primera vez que una ciencia (la Geometría) es capaz de autodefinirse rigurosamente y, por tanto, constituye uno de los puntos culminantes del espíritu humano en la historia.