El segundo significa que habrá representaciones irreducibles en dimensiones superiores a 1.
Esto subraya la importancia de SU(2) para la descripción no relativista del espín en la física teórica.
Como se muestra a continuación, las representaciones irreducibles de dimensión finita de SU(2) se indexan mediante un entero no negativo
Una referencia para este material es la Sección 4.6 de (Hall, 2015).
La verdadera álgebra de Lie(2) tiene una base dada por que satisfacen Entonces es conveniente pasar al álgebra compleja de Lie.
, este paso del álgebra de Lie real al complejo no presenta problemas.
[2] La razón para pasar a la complejización es que permite construir una buena base de un tipo que no existe en el álgebra de Lie real su(2).
El álgebra de Lie compleja se divide en tres elementos
El factor de 2 es una discrepancia entre las convenciones en matemáticas y física; en general, se mencionan ambas convenciones en los resultados que siguen a continuación.
actúa como un operador de elevación, aumentando el peso en 2, mientras que
por Un argumento simple por inducción[4] muestra que para todos los
tiene solo un número finito de vectores propios, se concluye que
el último vector distinto de cero en la cadena; es decir,
es claramente invariante bajo la acción del álgebra de Lie complejizada.
se supone irreducible, este intervalo debe ser todo de
se puede construir una representación simplemente usando las fórmulas anteriores y comprobando que las relaciones de conmutación se mantienen.
no negativo, existe una representación irreducible única con el peso
de mayor peso, se puede calcular fácilmente que
al vector de mayor peso, que es neutralizado por
Las representaciones grupales se pueden realizar en espacios de polinomios en dos variables complejas.
Se ve fácilmente que son una función de clase, es decir, invariantes bajo conjugación.
, es fácil ver que el carácter asociado satisface la condición Esta expresión es una serie geométrica finita que se puede simplificar para Esta última expresión es solo la declaración de la fórmula del carácter de Weyl para el caso SU(2).
En términos físicos, esta distinción es importante: las representaciones con pesos pares corresponden a representaciones ordinarias del grupo de rotación SO(3).
Estos dos casos se describen como bosón y fermión, respectivamente.
[9] (Véase más abajo el ejemplo para el teorema de Borel-Weil-Bott) Como se indicó anteriormente, las representaciones de SU (2) describen el espín no relativista, debido a que son un doble recubrimiento del grupo movimiento de rotación del espacio euclídeo tridimensional.
Es conocido en física como el espín-½ e, históricamente, como la multiplicación de los cuaterniones (más precisamente, la multiplicación por un cuaternión unitario).
Describe las rotaciones 3-d, la representación estándar de SO(3), por lo que los números reales son suficientes para ello.
Esta representación surgió simultáneamente con la 2, cuando William Rowan Hamilton introdujo los versores, su término para los elementos de SU(2).
Téngase en cuenta que Hamilton no usó la terminología estándar de la teoría de grupos ya que su trabajo precedió a los desarrollos del grupo Lie.
) se utiliza en física de partículas para ciertos bariones, como el Δ.