[1] La aplicación p se dice que abarca el homomorfismo.
Yendo en la otra dirección, si G es un grupo topológico y K es un subgrupo normal discreto de G, entonces la aplicación del cociente p:G→G/K es un homomorfismo de recubrimiento.
Si G es conexo, entonces K, siendo un subgrupo normal discreto, se encuentra necesariamente en el centro de G y, por lo tanto, es abeliano.
es isomorfo a K. El grupo K actúa simplemente sobre las fibras (que son clases laterales a la izquierda) de acuerdo con la multiplicación por la derecha.
Sea H un grupo topológico y G un espacio de recubrimiento de H. Si G y H son ambos conexos y conexos por recorrido localmente, entonces para cualquier opción del elemento e* en la fibra sobre e ∈ H, existe una única estructura de grupo topológico en G, con e* como la identidad, para la que la aplicación de recubrimiento p:G→H es un homomorfismo.
El producto ab se define como el punto final de esta ruta.
El caso no conexo es interesante y se estudia en los artículos de Taylor y de Brown-Mucuk que se citan a continuación.
Este grupo se denomina grupo de recubrimiento universal de H. También hay una construcción más directa que se muestra a continuación.
Sea PH el grupo recorrido de H. Es decir, PH es el espacio de los recorridos en H basado en la identidad junto con la topología compacto-abierta.
Esto le da a PH la estructura de un grupo topológico.
Existe un grupo natural de homomorfismo PH→H que asigna cada camino a su punto final.
Se puede demostrar que el recubrimiento universal es simplemente conexo y que el núcleo es solo el grupo fundamental de H. Es decir, se tiene una sucesión exacta.
, mientras que el elemento mínimo es el grupo de recubrimiento universal en su centro,
Esto corresponde algebraicamente a la extensión central perfecta universal (llamada grupo de recubrimiento por analogía) como el elemento máximo, y un grupo modular en su centro como elemento mínimo.
Un ejemplo clave surge de SL2(R), que tiene centro {± 1} y grupo fundamental Z. Es un recubrimiento doble del grupo lineal especial proyectivo PSL2 (R sin centro, que se obtiene al tomar el cociente por el centro.
Dado que el semiplano es contraíble, todas las estructuras de haz son triviales.
En particular, cada recubrimiento de una variedad es una variedad, y el homomorfismo de recubrimiento se convierte en una función continuamente diferenciable.