Serie geométrica
En matemáticas, una serie geométrica es la suma de un número infinito de términos que tiene una razón constante entre sus términos sucesivos.
Por ejemplo, la serie es geométrica porque cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por
En general, una serie geométrica es escrita como donde
es el coeficiente de cada término y
es la razón entre cada término sucesivo.
Las series geométricas son las series infinitas más simples y pueden ser utilizadas como una introducción básica a las series de Taylor y series de Fourier.
Los términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica, es decir que la razón entre términos sucesivos permanece constante.
: La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero; a medida que se acercan al cero, las cantidades se vuelven insignificantemente pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita.
La suma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.
, la suma de los primeros
términos de una serie geométrica es: donde
entonces la expresión anterior se reduce a Sea si multiplicamos ambos lados de la igualdad por
entonces De esta manera: Dada la serie La razón es
y el primer término es
, por lo que la suma de los primeros 10 términos de la serie (desde
entonces la serie converge y su suma es si
Notemos que despejando de la ecuación anterior
, por el resultado anterior por lo que
