En matemáticas, la representación adjunta (o acción adjunta) de un grupo de Lie
es una forma de representar los elementos del grupo como transformaciones lineales del álgebra de Lie del grupo, considerado como un espacio vectorial.
{\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}
el grupo de Lie de matrices invertibles reales n por n, entonces la representación adjunta es
el homomorfismo de grupo que envía una matriz invertible n por n, siendo
un endomorfismo del espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Para cualquier grupo de Lie, esta representación natural se obtiene linealizando (es decir, tomando el diferencial de) la acción de
sobre sí mismo mediante conjugación.
La representación adjunta se puede definir para grupos algebraicos lineales sobre campos arbitrarios.
Sea G un grupo de Lie y sea
u t (
{\displaystyle {\displaystyle \Psi :G\rightarrow Aut(G)}}
con Aut(G) el grupo de automorfismo de
dado por el automorfismo interno (conjugación)
{\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}}
es un homomorfismo de grupo de Lie.
es el espacio tangente al origen
siendo la identidad del elemento del grupo
es un automorfismo del grupo Lie,
es un Automorfismo álgebra de Lie; una invertible aplicación lineal de
el mismo conserva el Álgebra de Lie.
también es un homomorfismo de grupo.
Por lo tanto, el mapa
es un representación de grupo llamado el representación adjunta de
es una Correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie del grupo general
(llamado grupo de Lie lineal inmenso), entonces la álgebra de Lie
consiste en matrices y de Aplicación exponencial (teoría de Lie) es la matrix exponencial
con peqeñas normas operativas.
Nosotroa calcularemos la derivada de