Aplicación lineal

En matemáticas, una aplicación lineal es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar.En álgebra abstracta, álgebra lineal y análisis funcional una aplicación lineal es un homomorfismo entre espacios vectoriales; que en el lenguaje de la teoría de categorías es un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales que actúa un cuerpo dado.es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (im) deSi f : V → W es lineal y a es un elemento del cuerpo K, entonces la función af, definida como (af)(x) = a (f(x)), también es lineal.Gracias a estas dos propiedades, y a que la función que envía todo al elemento nulo es una aplicación lineal, es que el conjunto de transformaciones lineales f: V → W forma un subespacio de las funciones de V en W. A este subespacio se lo nota L(V,W) o Hom(V,W).Si V y W tienen dimensión finita y uno tiene elegidas bases en cada uno de los espacios, entonces todo mapa lineal de V en W puede representarse por una matriz.Gracias al teorema mencionado en la sección Teoremas básicos de las transformaciones lineales en espacios con dimensión finita, sabemos que dada cualquier elección de u1, ..., un existe y es única la transformación lineal que envía vi en ui.Por lo tanto, dada A cualquier matriz m × n, existe y es única la transformación lineal T:V→W tal que C [T] B=A.Si nos restringimos al caso V=W, C=B, tenemos además que esta aplicación es un isomorfismo entre álgebras.