Aplicación exponencial (teoría de Lie)
sobre sí mismo, que permite reproducir la estructura del álgebra de Lie en el grupo local.
La función exponencial ordinaria del análisis matemático es un caso especial de la aplicación exponencial cuando
La aplicación exponencial sobre un grupo de Lie satisface muchas propiedades análogas a las de la función exponencial ordinaria, aunque también difiere en muchos aspectos importantes.
sea su álgebra de Lie (definida como el espacio tangente al elemento neutro de
La aplicación exponencial es una correspondencia que se puede definir de varias maneras diferentes.
La definición moderna típica es esta: De la regla de la cadena se desprende fácilmente que
puede construirse como la curva integral del campo vectorial invariante por la derecha o por la izquierda asociado con
De que la curva integral existe para todos los parámetros reales se sigue la traslación de la solución a la derecha o la izquierda en el entorno de cero.
La aplicación exponencial coincide con la exponencial de una matriz y viene dada por la expansión de la serie ordinaria: donde
Si G es compacto, tiene una métrica Riemanniana invariante a la izquierda y traslaciones a la derecha, y la aplicación exponencial teórica de Lie sobre G coincide con la aplicación exponencial de esta métrica riemanniana.
Para un grupo G en general, no existirá un invariante métrico riemanniano para ambas traslaciones, a la izquierda y a la derecha.
Aunque siempre existe una métrica riemanniana invariante en (considérese el caso de las traslaciones a la izquierda), la aplicación exponencial en el sentido de la geometría riemanniana para una métrica invariante a la izquierda, no estará en general de acuerdo con la aplicación exponencial en el sentido del grupo de Lie.
Es decir, si G es un grupo de Lie equipado con una métrica invariante a la izquierda pero no a la derecha, las geodésicas a través de la identidad no serán subgrupos de un solo parámetro de G[cita requerida].
Otras definiciones equivalentes de la exponencial sobre un grupo de Lie son las siguientes: Para todos los
Resulta que: Más generalmente: Es importante enfatizar que la identidad precedente no se mantiene en general; la suposición de que
La imagen de la aplicación exponencial siempre se encuentra en el componente identidad de
Se deduce del teorema de la función inversa que la aplicación exponencial, por lo tanto, se restringe a un difeomorfismo desde algún vecindario de 0 en
:[2] A nivel general, la aplicación exponencial no es necesariamente suprayectiva.
Además, puede no ser un difeomorfismo local en todos los puntos.
(3) sobre SO(3) no es un difeomorfismo local (véase también lugar de corte sobre este problema, y derivada de la aplicación exponencial para más información).
La aplicación exponencial es sobreyectiva en los siguientes casos: Para los grupos que no cumplan con ninguna de las condiciones anteriores, la aplicación exponencial puede o no ser sobreyectiva.
La imagen de la aplicación exponencial del grupo conexo pero no compacto SL2(R) no es el grupo completo.
Su imagen consiste en C-matrices diagonalizables con valores propios positivos o con módulo 1, y matrices no diagonalizables con un valor propio 1 repetido, además de la matriz
Por lo tanto, la imagen excluye matrices con valores propios reales y negativos, distintas de
un homomorfismo del grupo de Lie y sea
Entonces el siguiente diagrama conmuta:[6] En particular, cuando se aplica a la acción adjunta de un grupo de Lie
, se tiene la útil identidad[7] Dado un grupo de Lie
determina un sistema de coordenadas cerca del elemento identidad e para G. Por el teorema de la función inversa, la aplicación exponencial
Su inverso: es entonces un sistema de coordenadas en U.
En el teorema del subgrupo cerrado figuran ejemplos de cómo se usan en distintas aplicaciones.
