Hipérbola unitaria
En geometría, la hipérbola unitaria es el conjunto de puntos (x, y) en coordenadas cartesianas que satisfacen la función implícita
[1] En geometría analítica, encuentra aplicación en aquellas relaciones en las que el círculo debe reemplazarse por una hipérbola.
En primer lugar, la curva se interpreta en el plano proyectivo utilizando coordenadas homogéneas.
En consecuencia, las asíntotas son líneas que son tangentes a la curva proyectiva en un punto del infinito, evitando así cualquier necesidad de los conceptos de distancia y convergencia.
En un sistema de referencia común, (x, y, z) son coordenadas homogéneas con la recta del infinito determinada por la ecuación z=0.
Por ejemplo, C. G. Gibson escribió:[2] El diagrama de Minkowski se dibuja en un plano de espacio-tiempo, donde el aspecto espacial se ha restringido a una sola dimensión.
El plano con los ejes se refiere a un sistema de referencia en reposo.
El diámetro de la hipérbola unitaria representa un marco de referencia en movimiento con rapidez a, donde tanh a = y/x; y además (x, y) es el punto final del diámetro en la hipérbola unitaria.
Esta hipérbola se transforma en la unitaria mediante una aplicación lineal expresada por la matriz
La siguiente descripción fue dada por matemáticos analíticos rusos: Mientras que el círculo unitario está asociado con los números complejos, la hipérbola unitaria es clave para el plano numérico complejo hiperbólico, que consiste en z = x + yj, donde j2 = +1.
Si se define jz = y + xj, entonces la acción de j en el plano consiste en intercambiar las coordenadas.
En particular, esta acción intercambia la hipérbola unitaria con su conjugada e intercambia pares de diámetros conjugados de las hipérbolas.
De hecho, esta rama es la imagen de la aplicación exponencial que actúa sobre el eje j. Ya que la rama es un grupo bajo la multiplicación.
Similar al plano complejo ordinario, un punto que no está en las diagonales tiene un descomposición polar que usa la parametrización de la hipérbola unitaria y la longitud radial alternativa.
