Notar que a diferencia del ángulo circular, el ángulo hiperbólico no se encuentra acotado, tal como sucede con la función ln x, una característica relacionada con la naturaleza no acotada de las series armónicas.Supóngase que ab = 1 y cd = 1 con c > a > 1 de forma tal que (a, b) y (c, d) determinan un intervalo sobre la hipérbola xy = 1.Entonces el mapeo de compresión con elementos diagonales b y a mapea este intervalo al ángulo hiperbólico en posición estándar que va desde (1, 1) a (bc, ad).De acuerdo a la relación descubierta por Gregoire de Saint-Vincent, el sector hiperbólico determinado por (a, b) y (c, d) tiene la misma área que este ángulo en posición estándar, y la magnitud del ángulo hiperbólico corresponde con esta área.Por lo tanto este parámetro es sumamente útil en el cálculo de una variable real.
El ángulo_hiperbólico
u
es un número real que es el argumento de las
funciones hiperbólicas
sinh y cosh. Determina un sector hiperbólico (rojo) que tiene un área
u
. Las ramas del
triángulo hiperbólico
(amarillo) son proporcionales a sinh(
u
) y cosh(
u
).
Superior:
Ángulos hiperbólicos positivo y negativo.
Inferior:
La diferencia entre dos ángulos positivos se muestra como Δ
u
=
u
2
−
u
1
.
