De hecho un grupo uniparamétrico puede ser representado por una colección
, que vienen dados por un homomorfismo local de grupo continuo
, considerada como grupo aditivo) a otro grupo topológico G. Un homomorfismo local como el anterior se define por las siguientes condiciones:
Cuando la aplicación que define el subgrupo se puede extender a toda la recta real, es decir, cuando en la definición anterior puede extenderse de modo que
es un homeomorfismo ordinario y entonces el grupo uniparamétrico no sólo es un subconjunto de un grupo continuo de dimensión uno, sino que toda la colección
es en sí misma un grupo continuo unidimensional.
denota el conjunto de números complejos de módulo unidad, que topológicamente puede ser interpretado como el círculo unidad del plano euclídeo; constituye un grupo uniparamétrico local, no trivial y la aplicación
En matemáticas y sobre todo en física surge la necesidad de considerar grupos de simetría alrededor del operador identidad
Un caso especialmente extraño son los grupos uniparamétricos son aquellos que aun siendo grupos unidimensionales son densos en un grupo de Lie de dimensión mayor que uno.
En ese caso surge la complicación técnica es que
tiene una topología más gruesa que la de la recta real ordinaria, al ser
El grupo uniparamétrico identificado con el conjunto imagen de la aplicación anterior se enrosca y se enrosca sobre el toro indefinidamente sin intersecarse a sí mismo formando un conjunto denso en el toro que se distingue del toro por tres razones: Puede probarse que el conjunto de grupos uniparamétricos locales que mantienen la simetría o invariancia de un cierto problema físico está generado por un elemento de un álgebra de Lie.
El teorema de Noether permite construir integrales de movimiento o leyes de conservación a partir de elementos del álgebra de Lie que genera todos los grupos uniparamétricos que son simetrías locales del problema físico.
Tales grupos uniparamétricos son de importancia básica en la teoría de los grupos de Lie, para quienes cada elemento del álgebra de Lie asociada define tal homomorfismo, la función exponencial.
Otro caso importante se ve en el análisis funcional, con G siendo el grupo de los operadores unitarios en un espacio de Hilbert.