Integral de movimiento

Una integral del movimiento o constante del movimiento de un problema mecánico es una función de la posición y las velocidades (o equivalentemente de las coordenadas generalizadas y sus momentos conjugados) que es constante a lo largo de una trayectoria del sistema a lo largo de las fases.En la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias se generaliza el concepto al de integral primera.Una integral primera depende de las variables de la ecuación diferencial y sus derivadas y resulta constante cuando se introduce en ella la dependencia respecto al "tiempo" o variable dependiente.Técnicamente una integral del movimiento es una expresión analíticatal que si se sustituyen en ella las variables por la expresión temporal de las coordenadas generalizadas y las velocidades generalizadas (alternativamente los momentos conjugados) son constantes:A continuación se presentan algunas integrales de movimiento para sistemas físicos de interés como el oscilador armónico y el problema de Kepler, en sus versiones newtonianas.Una condición adicional es que la función no puede ser trivial, es decir:De lo contrario en mecánica clásica cosas como la densidad, o las dimensiones de un sólido rígido contabilizarían como integrales de movimiento, cuando sólo son parámetros constantes.El oscilador armónico unidimensional es un sistema mecánico cuyo lagrangiano y cuya ecuación de movimiento vienen dado por:Puede verse que este sistema tiene dos integrales de movimiento dadas por:Para verlo basta considerar la derivada total respecto al tiempo y substituir en ellas las ecuaciones del movimiento:En el problema de dos cuerpos sometidos a su mutua atracción gravitatoria, conocido como problema de Kepler o problema de los dos cuerpos, existen varias cantidades conservadas independientes del tiempo, la energía, las tres componentes del momento angulary las tres componentes del vector de Runge-Lenz(y combinaciones de estas constantes entre sí).Sin embargo, puede probarse que no existen más de 5 integrales del movimiento que no dependan explícitamente del tiempo y que sean funcionalmente independientes, de hecho existen las siguientes relaciones entre las siete cantidades conservadas mencionadas:[1]​{\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {A} =L_{x}A_{x}+L_{y}A_{y}+L_{z}A_{z},\qquad E_{m}=-{\frac {\mu ^{2}(1-\|\mathbf {A} \|^{2})}{2\|\mathbf {L} \|^{2}}}}Análogamente permiten reducir un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias a otro sistema equivalente más pequeño.Para que esta reducción pueda ser realmente útil es necesario que la integral de movimiento sea una función algebraica de la posición y los momentos.Si la integral resulta ser una función trascendente de las variables mecánicas la reducción no puede llevarse a cabo.En estos sistemas el principio de conservación de la energía implica que el hamiltoniano es una integral de movimiento que es función algebraica de la posición y el momento conjugado, ya que se cumplen las ecuaciones canónicas de Hamilton:Es decir, el valor de la hamiltoniana a lo largo de las trayectorias permanece constante, de hecho, ese valor es igual a la energía E que es constante para dicho sistema.Suponiendo que el hamiltoniano tiene la forma típica, las ecuaciones de movimiento pueden ser integradas mediante una cuadratura:[2]​Esta última relación proporciona la función del tiempo q(t) buscada, que es la solución de las ecuaciones del movimiento.Un ejemplo interesante de sistema que puede reducirse a un sistema conservativo unidimensional es el movimiento de una partícula moviéndose en un campo central.El conocimiento de algunas constantes del movimiento se puede aprovechar para integrar la ecuación de Hamilton-Jacobi.Si se conoce una integral de movimientoEsa propiedad permite definir una transformación canónica dada por una función generatriz, y formar un hamiltoniano con una variable menos, lo cual reduce en dos el número de grados de libertad del sistema.Los conceptos anteriores pueden extenderse a la mecánica cuántica, donde una integral o constante de movimiento es un observable del sistema.En un sistema conservativo, cualquier observable que no dependa explícitamente del tiempo y cuyo conmutador con el hamiltoniano sea nulo, es una integral del movimiento.