Transformación canónica

que preserva la forma canónica de las ecuaciones de Hamilton, aun cuando la propia forma del Hamiltoniano no queda invariante.Por claridad, este artículo se restringe a un resumen básico de su uso común en mecánica clásica.El tratamiento avanzado basado en el fibrado cotangente, la derivación exterior y topología simpléctica se resume en el artículo sobre simplectomorfismos.Sin embargo, este artículo contiene una breve introducción matemática a este enfoque moderno más avanzado.Puesto que la mecánica lagrangiana se basa en coordenadas generalizadas las ecuaciones de movimiento son invariantes bajo cambios de coordenadas dados por: (1)Y debido a la relación entre las ecuaciones de Hamilton y las ecuaciones de Euler-Lagrange, en las nuevas coordenadas las ecuaciones de Hamilton conservan su forma canónica.De hecho las transformaciones de tipo (1) llamadas transformaciones puntuales son un tipo particular de transformación canónica (ya que conserva inalterada las ecuaciones canónicas de Hamilton).Sin embargo, la clase de transformaciones canónicas es mucho más amplia, ya que existe la posibilidad de construir transformaciones más generales que involucren también a los momentos conjugados y al tiempo del tipo: (2)Sucede que no toda transformación de tipo (2) es canónica.Si la anterior transformación es canónica y no incluye explícitamente el tiempo entonces se llama transformación canónica restringida (muchos libros de texto consideran sólo este tipo).Las condiciones de transformación canónica es que la función hamiltoniana nueva o Kantianaen el caso de una transformación canónica restringida donde los cambios de coordenadas que no dependen del tiempo (solo indirectamente a través de las coordenadas originales) obtenemos:La expresión anterior debe igualar a la derivada del hamiltonianoIgualando las expresiones anteriores se obtienen fácilmente las restricciones que deben cumplirse para que una transformación sea canónica: (4a)Mediante una deducción análoga para los momentos conjugadosUna forma más sencilla de trabajar con las transformaciones canónicas es definiendo la transformación a partir de una función generatriz.[1]​ Dado que las transformaciones canónicas son simplectomorfismos del espacio fásico en sí mismo, una transformación canónica muestra siempre ciertas invariancias matemáticamente interesantes desde el punto de vista de la topología simpléctica: Consideremos la trayectoriade una partícula expresada en coordenadas canónicas en un sistema hamiltonianoy fijemos un instante de tiempo inicial t0, lo cual define unas coordenadas:Si consideramos un lapso de tiempo τ la posición del sistema en general habrá cambiado, con lo cual tendremos otro posible conjunto de coordenadas canónicas:En esas condiciones resulta que la transformación que lleva de las coordenadas iniciales a las nuevas coordenadas es una transformación canónica.Se refiere a una trayectoria la cual transforma sus puntos dentro de su órbita.Consideremos una región del espacio fásico que evoluciona con el tiempo al desplazarse sobre su trayectoria cada uno de sus puntos se transforma al cabo del tiempo en una región de forma diferente ubicada, además, en otra parte del espacio fásico.Además debido a la continuidad de la evolución temporal si la región es conexa inicialmente seguirá siendo conexa todo el tiempo.Para probar esto basta tener en cuenta que la forma de volumenEsta última extensión es esencialmente el teorema de Liouville Seandos conjuntos de coordenadas canónicas y seandos funciones del álgebra de Poisson definidas sobre el espacio fásico, entonces se cumple que:Es decir, los corchetes de Poisson son invariantes ante una transformación canónica.Recíprocamente, puede probarse que si los corchetes de Poisson son invariantes ante una transformación, esta deberá ser canónica.