Todas estas están nombradas en honor a Siméon Denis Poisson.
Frecuentemente el corchete de Poisson se define de forma no intrínseca usando un conjunto de coordenadas sobre el espacio de fases del sistema (aunque más adelante se da la #Definición general en forma intrínseca).
es una carta local, asociada a las coordenadas canónicas definidas anteriormente, es decir:
Esto se puede demostrar directamente tomando unas coordenadas explícitas.
, uno puede escribir Así, la evolución temporal de una función f en una variedad simpléctica puede darse como una familia uniparamétrica de variemorfismos, con el tiempo t siendo el parámetro.
Tales constantes conmutarán con el hamiltoniano bajo el corchete de Poisson.
donde, como arriba, los pasos intermedios se realizan aplicando las ecuaciones de movimiento.
Para que un sistema hamiltoniano sea completamente integrable, todas sus constantes de movimiento deben estar en involución mutua.
Sea M una variedad simpléctica, esto es, una variedad en la que existe una forma simpléctica: una forma diferencial de segundo orden
) y no-degenerada, en el siguiente sentido: cuando se ve como un mapa
se usa como la derivada exterior, operador intrínseco a la estructura de la variedad M, e
es la derivada interior u operación de contracción tensorial, que es equivalente a
Usando los axiomas del cálculo exterior, uno puede derivar:
, esto implica que el corchete de Lie de dos vectores cocerrados siempre es un campo vectorial coexacto, ya que cuando v y w son ambos cocerrados, el único término no nulo en la expresión es
, todos los campos vectoriales coexactos son cocerrados, y por eso el corchete de Lie es cerrado tanto en el espacio de los campos vectoriales cocerrados como en el subespacio de éste consistente en los campos vectoriales coexactos.
En el lenguaje del álgebra abstracta, los campos vectoriales cocerrados forman un subálgebra del álgebra de Lie de los campos vectoriales suaves en M, y los campos vectoriales coexactos forman un ideal de este subálgebra.
, todas las funciones reales suaves f en M pueden ser asociadas a un campo vectorial coexacto
(Dos funciones están asociadas con el mismo campo vectorial si, y sólo si, su diferencia está en el núcleo de d, esto es, constante en cada componente conectada de M.) Así, definimos el corchete de Poisson en
Esta simetría sesgada del corchete de Poisson está asegurada por los axiomas del cálculo exterior y la condición
es linear en todo punto y de simetría sesgada, algunos autores lo asocian a un bivector, que no es un objeto frecuentemente encontrado en el cálculo exterior.
En esta forma se llama el bivector de Poisson o la estructura de Poisson en la variedad simpléctica, y se denota como
El corchete de Poisson en funciones suaves se corresponde con el corchete de Lie en campos vectoriales coexactos y hereda toda sus propiedades.
Por lo que es una derivada, y así, satisface la Regla de Leibniz:
), entonces se dice que f y g están en involución mutua, y las operaciones de hacer el corchete de Poisson respecto de f y g conmutan.
Dado un campo vectorial diferenciable X en el entorno tangente, sea
Esto es un resultado importante que merece la pena demostrar.
Escribamos un campo escalar X en el punto q del espacio de configuración como
se refiere al marco de coordenadas locales.
son las funciones momento conjugadas de las coordenadas.
en el espacio de fases, Lo anterior se mantiene para todos los