En matemáticas, un álgebra de Poisson es un álgebra asociativa junto con un corchete de Lie que además satisface la regla de Leibniz, esto es, que el corchete es también una derivación.
Estas álgebras llevan su nombre en honor de Siméon Denis Poisson.
Un álgebra de Poisson es un espacio vectorial sobre un cuerpo
, que tienen las siguientes propiedades: La última propiedad permite a menudo múltiples formulaciones para el álgebra, como se observa en los ejemplos a continuación.
Las álgebras de Poisson ocurren a menudo en distintos casos.
sobre la variedad simpléctica, el corchete de Poisson se puede definir como Esta definición es consistente en parte porque el corchete de Poisson actúa como una derivación.
De forma equivalente, se puede definir el corchete
con la estructura simpléctica estándar, el corchete de Poisson toma la forma conocida Algo similar aplica a las variedades de Poisson, que generalizan las variedades simplécticas permitiendo que el bivector simpléctico se anule en algún punto (o trivialmente en todos) de la variedad.
Se puede construir explícitamente por el siguiente método.
En primer lugar se construye el álgebra tensorial del espacio vectorial subyacente del álgebra de Lie.
El álgebra tensorial es simplemente la unión disjunta (suma directa
) de todos los productos tensoriales del espacio vectorial.
forman por tanto un álgebra de Poisson.
no debe confundirse con la construcción de álgebra tensorial descrita en la sección anterior.
Se puede también aplicar dicha construcción, pero esta arrojará un álgebra de Poisson diferente, que será mucho mayor.