Se define de tal modo que para cada campo vectorial Y en M la identidad valga.
El flujo de un campo vectorial hamiltoniano es un simplectomorfismo es decir un difeomorfismo que preserva la forma simpléctica.
Como una consecuencia directa tenemos el teorema de Liouville: el volumen simpléctico es invariante bajo un flujo hamiltoniano.
Acabamos de mostrar que hay una correspondencia uno a uno entre simplectomorfismos infinitesimales y las funciones diferenciables sobre una variedad simpléctica.
La diferencia fundamental entre la geometrías riemanniana y simpléctica es que una variedad simpléctica no tiene ningún invariante local: según el teorema de Darboux para cada punto x en un variedad simpléctica hay un conjunto coordenado local llamado variables ángulo con los coordenadas p1,...,pn,q1,...,qn, tales que:ω = Σ dpi ∧ dqi Los subgrupos finito-dimensionales del grupo de simplectomorfismos son grupos de Lie.