Punto fijo

En matemáticas, un punto fijo de una función es un punto cuya imagen producida por la función es él mismo.

Es decir, x es un punto fijo de la función f si y sólo si

No todas las funciones tienen puntos fijos.

Por ejemplo, si f es una función definida sobre los números reales como

, entonces f no tiene ningún punto fijo, ya que x no es nunca igual a x + 1 para ningún número real.

En términos gráficos, y en el dominio de los reales, que x sea un punto fijo significa que el punto

, o en otras palabras la gráfica de f tiene un punto en común con esa recta.

de f tal que para cualquier valor de x en el dominio que es bastante cercano a

, la sucesión obtenida iterando la función converge a

La función coseno natural ("natural" significa en radianes, no grados u otras unidades) tiene exactamente un punto fijo atractivo.

En este caso "bastante cerca" no es nada restrictivo, para verlo se puede empezar con cualquier número real y pulsar repetidamente la tecla "cos" de la calculadora.

El resultado converge rápidamente a 0,73908513, que es un punto fijo.

Aquí es donde la gráfica de la función coseno interseca a la recta

No todos los puntos fijos son atractivos: por ejemplo,

Ahora bien, si la función es continuamente derivable en un entorno abierto del punto fijo

Los puntos fijos atractivos son un caso especial de atractores, que es un concepto matemático más amplio (que el de punto fijo atractivo).

Siguiendo el primer capítulo del libro de Sternberg, podemos redactar el resumen del método para calcular los puntos fijos de una función dada

la iteración diverge a infinito positivo o negativo.

Hay numerosos teoremas en diferentes partes de las matemáticas que garantizan a las funciones, si cumplen ciertas condiciones, tener al menos un punto fijo.

En muchos campos, "equilibrio" o "estabilidad" son conceptos fundamentales que pueden ser descritos en términos de puntos fijos.

Una función con tres puntos fijos
La iteración de punto fijo x n +1 = cos x n con el valor inicial x 1 = -1.