Método del punto fijo
El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales.
, siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.
Supongamos que existe y es conocida la función
El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de
, que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia.
debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones).
La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en
de una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad ε.
≤ 1 obtenemos el rango de valores en los cuales esta el punto fijo llamado R. 5.
Después obtenemos la derivada de la función:
O visto de otra manera, vemos que en la gráfica de la derivada existen valores entre -1 y 1:
Ya que se tienen los valores del rango R, encontramos la raíz haciendo la iteración de las operaciones:
En la tabla se puede ver el valor que en este caso se usó de R, la iteración consiste en usar ese valor en
[2] El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.
[3][4][5] Esta metodología se originó a partir del desarrollo del método de Newton-Raphson fraccional [6] y trabajos relacionados posteriores.
[7][8][9] El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que trata con derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional.
Gracias a esta notación, L’Hopital pudo preguntar en una carta a Leibniz sobre la interpretación de tomar
En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L’Hopital en una carta que "... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles".
El nombre "cálculo fraccional" se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden
Actualmente, el cálculo fraccional carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccional.
En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera: Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que
se define utilizando notación de Einstein:[10] Denotando
, se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales:[11][7]
Como consecuencia, se define el siguiente conjunto: Para una función
lo cual se puede expresar de forma más compacta como:
es posible definir el siguiente método iterativo fraccional:
que corresponde al caso más general del método de Newton-Raphson fraccional.
El uso de operadores fraccionales en métodos de punto fijo ha sido ampliamente estudiado y citado en diversas fuentes académicas.
Ejemplos de esto se pueden encontrar en varios artículos publicados en revistas de renombre, como los que aparecen en ScienceDirect,[12][13] Springer,[14] World Scientific,[15] y MDPI,[16][17][18][19][20] [21] ,,[22] [23] .
También se incluyen estudios de Taylor & Francis (Tandfonline) [24] , Cubo [25] , Revista Mexicana de Ciencias Agrícolas,[26] Journal of Research and Creativity,[27] MQR [28] , y Актуальные вопросы науки и техники.
