En matemáticas, el nombre grupo simpléctico puede referirse a dos conjuntos diferentes, pero estrechamente relacionados, de grupos matemáticos, denominados Sp(2n, F) y Sp(n) para el entero positivo n y cuerpo F (generalmente sobre los números complejos C o los números reales R).
Muchos autores prefieren notaciones ligeramente diferentes, que generalmente difieren en factores de 2.
La notación utilizada aquí es consistente con el tamaño de las matrices más comunes que representan los grupos.
Debe tenerse en cuenta que cuando aquí se hace referencia al grupo simpléctico (compacto) se da a entender que se está hablando de la colección de grupos simplécticos (compactos), indexados por su dimensión n. El nombre grupo simpléctico tiene su origen en la topología simpléctica desarrorrada por Hermann Weyl como reemplazo de los confusos nombres anteriores (línea) grupo complejo y grupo lineal abeliano, y es el análogo al término griego que significa complejo.
El grupo metapléctico es una doble tapa del grupo simpléctico sobre R; tiene análogos sobre otros cuerpos locales, cuerpos finitos y anillos adélicos.
Tal espacio vectorial se llama espacio vectorial simpléctico, y el grupo simpléctico de un espacio vectorial simpléctico abstracto V se denota Sp(V).
En este caso, Sp(2n, F) se puede expresar como aquellas matrices de bloques
, satisfaciendo las tres ecuaciones siguientes: Dado que todas las matrices simplécticas tienen determinante 1, el grupo simpléctico es un subgrupo del grupo lineal especial SL(2n, F).
Estos grupos son conexos pero no compactos.
El centro de Sp(2n, F) consta de las matrices I2n y −I2n siempre que la característica del cuerpo no sea 2.
[1] Dado que el centro de Sp(2n, F) es discreto y su cociente módulo el centro es un grupo simple, Sp(2n, F) se considera un grupo simple de Lie.
sujetas a las condiciones El grupo simpléctico sobre el cuerpo de los números complejos es un grupo simple de Lie no compacto y simplemente conexo.
Sp(2n, R) es real, grupo simple de Lie, conexo, y no compacto.
Algunas propiedades adicionales de Sp(2n, R) son: Los miembros del álgebra de Lie simpléctica sp(2n, F) son las matrices hamiltonianas.
[10] Como se señaló anteriormente, las transformaciones que conservan la estructura de un espacio vectorial simpléctico forman un grupo y este grupo es Sp(2n, F), según la dimensión del espacio y el cuerpo sobre el que se define.
Una transformación bajo una acción del grupo simpléctico es, en cierto sentido, una versión linealizada de un simplectomorfismo, que es una estructura más general que conserva la transformación en una variedad simpléctica.
[12] De hecho, a veces se le llama grupo hiperunitario.
Más bien, es isomorfo a un subgrupo de Sp(2n, C), por lo que conserva una forma simpléctica compleja en un espacio vectorial de dos veces la dimensión.
Cada álgebra de Lie semisimple compleja tiene una forma real dividida y una forma real compacta; la primera se llama complejifijación de las dos últimas.
El grupo simpléctico compacto Sp(n) surge en la física clásica como las simetrías de coordenadas canónicas que conservan el corchete de Poisson.
[14][15] Si son nuevas coordenadas canónicas, entonces, con la notación de un punto sobreimpuesto que denota la derivada respecto al tiempo, donde para todo t y todo z en el espacio de fase.
se sitúan en el fibrado tangente a la variedad, y los momentos
Esta es la razón por la cual estos se escriben convencionalmente con índices superior e inferior; para distinguir sus ubicaciones.
El hamiltoniano correspondiente consta únicamente de la energía cinética: es
[18] Considérese un sistema de partículas n cuyo estado cuántico codifica su posición y momento.
Estas coordenadas son variables continuas y, por lo tanto, el espacio de Hilbert, en el que vive el estado, es de dimensión infinita.
Esto a menudo hace que el análisis de esta situación sea complicado.
Constrúyase un vector de coordenadas canónicas, Las relaciones de conmutación canónicas se puede expresar simplemente como donde y In es la matriz identidad n × n. Muchas situaciones físicas solo requieren operadores hamiltonianos cuadráticos, es decir, hamiltonianos de la forma donde K es una matriz simétrica de orden 2n × 2n real.
Esto resulta ser una restricción útil y permite reescribir la ecuación de Heisenberg como La solución a esta ecuación debe preservar las relaciones de conmutación canónicas.
Se puede demostrar que la evolución temporal de este sistema es equivalente a una acción del grupo simpléctico real Sp(2n, R), en el espacio de fase.