Coordenadas canónicas

En matemática y mecánica clásica, las coordenadas canónicas[1]​ son conjuntos de coordenadas en el espacio de fase que se pueden usar para describir un sistema físico en cualquier momento dado.Se utilizan en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica.Un concepto estrechamente relacionado también aparece en la mecánica cuántica (véase el teorema de Stone-von Neumann y las relaciones de conmutación canónicas para más detalles).Como la mecánica hamiltoniana se generaliza por la geometría simpléctica y las transformaciones canónicas se generalizan por las transformaciones de contacto, la definición de coordenadas canónicas en la mecánica clásica del siglo XIX puede generalizarse a una definición más abstracta de coordenadas del siglo XX en el fibrado cotangente de una variedad (la noción matemática de espacio de fases).En mecánica clásica, las coordenadas canónicas son un sistema de referenciaen el espacio de fase que se utilizan en el formalismo hamiltoniano.Las coordenadas canónicas satisfacen las relaciones fundamentales del corchete de Poisson: Un ejemplo típico de coordenadas canónicas parason las coordenadas cartesianas habituales, yLas coordenadas canónicas se pueden obtener a partir de las coordenadas generalizadas del formalismo lagrangiano mediante una transformación de Legendre, o de otro conjunto de coordenadas canónicas mediante una transformación canónica.Las coordenadas canónicas se definen como un conjunto especial de coordenadas en el fibrado cotangente de una variedad.Por lo general, se escriben como un conjunto decon las x o las q que denotan las coordenadas en la variedad subyacente y las p que indican el momento conjugado, que son 1-formas en el fibrado cotangente en el punto q de la variedad.Una definición común de coordenadas canónicas es cualquier conjunto de coordenadas en el fibrado cotangente que permite que la forma canónica se escriba de la manera siguiente: hasta un diferencial total.Un cambio de coordenadas que conserva esta forma es una transformación canónica; se trata de un caso especial de un simplectomorfismo, que es esencialmente un cambio de coordenadas en una variedad simpléctica.En la siguiente exposición se supone que las variedades son múltiples reales, de modo que los vectores cotangentes que actúan sobre vectores tangentes producen números reales.Dado un múltiple Q, un campo vectorial X en Q (una sección del fibrado tangente TQ) puede considerarse como una función que actúa sobre el fibrado cotangente, por la dualidad entre los espacios tangente y cotangente.Es decir, se define una función tal que se cumple para todos los vectores cotangentes p ense llama la función de impulso correspondiente a X.En coordenadas locales, el campo vectorial X en el punto q puede escribirse como dondese definen como las funciones de impulso correspondientes a los vectoresforman un sistema de coordenadas en el fibrado cotangenteEn la mecánica lagrangiana, se usa un conjunto diferente de coordenadas, llamadas coordenadas generalizadas, que se denotan comúnmente comoCuando se define un Hamiltoniano en el fibrado cotangente, las coordenadas generalizadas se relacionan con las coordenadas canónicas por medio de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi.