Transformada de Legendre
Son unívocas hasta una constante aditiva que normalmente se fija mediante el requisito adicional de que La transformada de Legendre es su propia inversa, y está relacionada con la integración por partes.
Una transformada de Legendre da como resultado una nueva función, en la que se sustituye una o más variables independientes con la derivada de la función original respecto a esa variable.
En ciertos problemas matemáticos o físicos es deseable expresar una cierta magnitud f (como la energía interna) como función diferente g en que los argumentos sean precisamente las derivadas de la función respecto a las antiguas variables.
admite transformada de Legendre, si existe su derivada segunda y no se anula nunca:
garantiza que existe la función diferenciable, x(y).
Se usan para realizar transformaciones entre los diversos potenciales termodinámicos.
Por ejemplo, mientras las energía interna es una función explícita de las variables extensivas, entropía, volumen (y composición química)
Las energías libres (Helmholtz y Gibbs se obtienen mediante sucesivas transformadas de Legendre, eliminando TS (de U y H, respectivamente), cambiando la dependencia de la entropía S a su variable conjugada intensiva temperatura T, y es útil cuando ésta es constante.
Queremos que la fuerza atractiva f entre las placas sea función de la separación variable x (Los dos vectores espaciales apuntan en sentidos opuestos).
Por supuesto, para una carga, voltaje y distancia dadas, la fuerza estática debe ser la misma mediante cualquier cálculo ya que las placas no pueden "saber" qué se mantendrá constante mientras se mueven.
Por su parte la función de Hamilton o hamiltoniano que aparece en la formulación hamiltoniana es función explícita de las coordenadas posicionales y los momentos.
El punto importante es que los momentos pueden ser obtenidos como derivadas del lagrangiano:
con lo cual estamos en las condiciones para construir el hamiltoniano a partir del lagrangiano (siempre y cuando además se cumpla la condición requerida por el teorema de la función implícita).
En esas condiciones el hamiltoniano viene dado como transformación de Legendre del lagrangiano:
está automáticamente garantizada por el teorema de la función implícita ya que:
Las coordenadas no tienen necesariamente que ser rectilíneas o cartesinas, sino también ángulos, etc. Una opción óptima tomaría ventaja de las simetrías físicas reales.
Usando integración por partes la última integral se simplifica como Por tanto, Dado que el lado izquierdo de esta ecuación sólo depende de x1 y el derecho sólo de x0, tienen que evaluar a la misma constante.
Resolviendo para g y escogiendo que C sea cero obtenemos la fórmula mencionada anteriormente.
Sea A una transformación lineal de Rn en Rm.
donde A* es el adjunto de A definido por Una función convexa cerrada f es simétrica con respecto a un conjunto dado G de transformaciones lineales ortogonales, si y sólo si f* es simétrica con respecto a G. La convolución infimal de dos funciones f y g se define como Sean f1, …, fm funciones convexas propias sobre Rn.
