; se puede definir el espacio cotangente para cada punto de una variedad diferenciable.
, aunque existen definiciones más directas (ver debajo).
Los elementos del espacio cotangente se suelen llamar vectores cotangentes o covectores tangentes.
Todos los espacios cotangentes en puntos de una variedad conexa tienen la misma dimensión, que es la misma dimensión que la de la variedad.
Todos los espacios cotangentes de una variedad pueden ser "pegados" (e.d.
unidos y dados una topología) para formar una variedad diferenciable de doble dimensión, el fibrado cotangente de la variedad.
El espacio tangente y cotangente en un punto son ambos espacios vectoriales reales de la misma dimensión, y son por lo tanto isomorfos mediante muchos posibles isomorfismos.
Si introducimos una métrica Riemanniana o una forma simpléctica da pie a un isomorfismo natural entre el espacio tangente y el cotangente en un punto, asociando a cualquier vector cotangente un vector tangente canónico.
: En particular, los elementos del espacio cotangente son funcionales lineales en
En algunos casos, es preferible tener un definición directa del espacio cotangente que no depende del espacio tangente.
Informalmente, diremos que dos funciones suaves f y g son equivalentes en un punto
si la derivada de la función f-g se anula en
una variedad diferenciable y x un punto en
probando que ambos espacios son isomorfos entre ellos.
Esta formulación es análoga a la construcción del espacio cotangente para definir el espacio tangente a una variedad algebraica con la Topología de Zariski en geometría algeraica.
Esta construcción también puede generalizarse a espacios de anillos locales.
La diferencial de f en un punto x es la aplicación donde Xx es un vector tangente en x, pensado como una forma de derivar.
Equivalentemente, podemos pensar en los vectores tangentes como tangentes a curvas, y escribir En cualquier caso, dfx es una aplicación lineal en TxM y por lo tanto es un vector cotangente en x.
Podemos definir la aplicación diferencial d : C∞(M) → Tx*M en un punto x como la aplicación que manda f a dfx.
Las propiedades de la aplicación diferencial incluyen: La aplicación diferencial nos da una relación entre las dos definiciones alternativas del espacio cotangente dadas más arriba.
Dada una función f ∈ Ix (una función suave que se anula en x) podemos crear el funcional lineal dfx igual que arriba.
Como la aplicación d se restringe a 0 en Ix2 (el lector interesado puede comprobar esto por su cuenta), d desciende a una aplicación que va desde Ix / Ix2 al espacio dual del espacio tangente, (TxM)*.
Uno puede mostrar que esta aplicación es un isomorfismo, probando la equivalencia de ambas definiciones.
Al igual que toda función diferenciable f : M → N entre variedades induce una aplicación lineal (llamada el pushwforward o derivada) entre los respectivos espacios tangentes cada función de estas características induce una aplicación lineal (llamada el pullback) entre los espacios cotangentes, solo que esta vez en la dirección opuesta: El pullback se define naturalmente como el dual (o traspuesta) del pushforward.
Analizando la definición, esto significa lo siguiente: donde θ ∈ Tf(x)*N y Xx ∈ TxM.
Sea g una función suave en N que se anula en f(x).
Entonces el pullback del vector cotangente determinado por g (denotado dg) viene dado por Esto es, es la clase de equivalencia de funciones en M que se anulan en x determinadas por g ∘ f. La k-ésima potencia exterior del espacio cotangente, denotada por Λk(Tx*M), es otro objeto importante en geometría diferencial.
Vectores en la k-ésima potencia exterior, o para ser más exactos secciones de la k-ésima potencia del fibrado cotangente, se llaman k-formas diferenciales.
Pueden pensarse como aplicaciones multilineales alternadas en k-vectores tangentes.
Por esta razón, se suelen llamar a los vectores cotangentes 1-formas.