En mecánica cuántica (física), las relaciones de conmutación canónicas son las relaciones fundamentales entre magnitudes conjugadas (cantidades que están relacionadas por definición de modo que una es la transformada de Fourier de la otra).
Por ejemplo, entre el operador de posición
es la constante de Planck reducida
En general, la posición y el momento son vectores de operadores y la relación de conmutación entre sus componentes se puede expresar como donde
Se le atribuye esta relación a Max Born (1925),[1] que la llamó "condición cuántica" y la empleó como postulado de la teoría.
[2] Por contraste, en la física clásica, todos los observables conmutan y el conmutator sería cero.
Aun así, una relación análoga existe reemplazando el conmutator con el corchete de Poisson multiplicado por
: Esta observación inspiró a Dirac para proponer que las versiones cuánticas
satisfacen En 1946, Hip Groenewold demostró que una correspondencia sistemática general entre conmutadores cuánticos y corchetes de Poisson no puede ser válida de manera consistente.
[3] Aun así, existe una correspondencia sistemática entre el conmutador cuántico y una deformación del corchete de Poisson, el corchete de Moyal, y, en general, operadores cuánticos y observables clásicos y distribuciones en el espacio de fases.
Groenewold descubrió el mecanismo de correspondencia, la transformación de Wigner-Weyl, que da lugar a una representación de la mecánica cuántica alternativa matemáticamente equivalente, conocida como cuantización por deformación.
generado por exponenciación del álgebra de Lie tridimensional determinada por la relación de conmutación
se llama grupo de Heisenberg.
tendrían que ser representados por operadores autoadjuntos en algún espacio de Hilbert.
Es relativamente fácil de ver que dos operadores que satisfacen la relación de conmutación anterior no pueden ser acotados—tan solo hay que tomar la traza de ambos lados de las relaciones y utilizar la relación
, por lo que las normas de los operadores satisfacen Sin embargo,
puede ser arbitrariamente grande, así que al menos uno de los operadores debe ser no acotado, y la dimensión del espacio de Hilbert no puede ser finita.
Utilizando las relaciones de Weyl, de hecho, se puede demostrar que ambos operadores son no acotados.
Aun así, estas relaciones de conmutación canónicas se pueden escribir de un modo un poco "más domado" en términos de los operadores unitarios (acotados)
, que admiten representaciones de dimensión finita (por ejemplo, las matrices desplazamiento y reloj que generalizan las matrices de Pauli).
Las relaciones entre estos operadores son las relaciones de Weyl El conmutator que define el grupo es entonces La unicidad de las relaciones de conmutación canónicas entre la posición y el momento está garantizada por el teorema de Stone-von Neumann.
La fórmula sencilla válida para la cuantización del sistema clásico más sencillo, puede ser generalizado al caso de un lagrangiano arbitrario
en el ejemplo anterior, o un campo Φ(x) en el caso de teoría de campos cuánticos) y momentos canónicos πx (en el ejemplo anterior es
, o más generalmente, alguna función que incluye derivadas de las coordenadas canónicas con respecto al tiempo): Esta definición del momento canónico asegura que una de las ecuaciones de Euler–Lagrange tiene la forma Entonces las relaciones de conmutación canónica tienen la forma donde δij es la delta de Kronecker.
Además se puede demostrar fácilmente que Todas las relaciones de conmutación no triviales implican relaciones de incertidumbre,<[5] que contienen contribuciones semi-definidas positivas de los valores esperados de conmutadores y anticonmutadores.
; y de modo parecido para los operadores desplazados
Para los operadores de momento angular
Los operadores de espín cumplen una relación análoga.
, se tiene, para las componentes transversales del invariante de Casimir
En consecuencia, la desigualdad anterior aplicada a esta relación de conmutación es de ahí y por tanto De este modo se obtienen restricciones para el invariante de Casimir como