En matemáticas, la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, también conocida como desigualdad de Schwarz, desigualdad de Cauchy o desigualdad de Cauchy-Schwarz, es una desigualdad que se encuentra en diversas áreas de la matemática, como el álgebra lineal,[1] el análisis matemático[2] y la teoría de probabilidades.
[3] La desigualdad para sumas fue publicada por Augustin Louis Cauchy (1821), mientras que la correspondiente desigualdad para integrales fue establecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) y redescubierta por Hermann Amandus Schwarz (1888).
un espacio vectorial complejo con producto escalar.
, cumplen la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Demostración Tomemos la combinación de vectores
λ u − μ v
El producto de este vector por sí mismo es siempre mayor o igual que cero, por las propiedades del producto escalar.
Aplicando la linealidad por la derecha del producto escalar, se puede desarrollar la expresión anterior.
Esta desigualdad debe cumplirse para cualquier valor de los escalares
En particular, se cumple para
λ = ( u , v )
Sustituyendo estos valores en la desigualdad: Y finalmente:
La desigualdad se satura (se vuelve igualdad) si y solo si los vectores son linealmente dependientes entre sí.
números reales cualesquiera.
Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz
Además la igualdad se verifica si y sólo si existe un número real
tal que
Una suma de cuadrados no puede ser nunca negativa.
Por lo tanto tenemos lo siguiente:
para todo número real
; y se cumple la igualdad si y sólo si cada término de la suma (
, para todo k) es igual a cero.
Esta desigualdad puede escribirse en la forma:
La ecuación anterior determina un polinomio cuadrático que no podrá tener dos raíces reales porque siempre es mayor o igual que 0.
Por lo tanto su discriminante debe ser menor o igual que cero:
, y esta es la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Utilizando notación vectorial, la desigualdad de Cauchy-Schwarz toma la forma:
son dos vectores n-dimensionales,
es su producto escalar y
es la norma de a.