En matemáticas, especialmente en análisis funcional, la desigualdad de Bessel es una proposición acerca de los coeficientes de un elemento
x
en un espacio de Hilbert con respecto a una secuencia ortonormal.
Sea
un espacio de Hilbert, suponga que
es una secuencia ortonormal en
se tiene que donde <·,·> denota el producto interno en el espacio de Hilbert
, Si nosotros definimos la suma infinita La desigualdad de Bessel nos dice que esta serie matemática converge.
Para una secuencia ortonormal completa (esto es, para una secuencia ortonormal que a la vez es una base ortonormal de
), nosotros tenemos la identidad de Parseval, que reemplaza la desigualdad por una igualdad (y consecuentemente
En Álgebra lineal la Desigualdad de Bessel estipula que dado un espacio vectorial V con producto interno
definido, y dada
un subconjunto ortonormal de V, se cumple para todo x en V: (1)
{\displaystyle \|x\|^{2}\geq \sum _{i=1}^{n}|\langle x,\beta _{i}\rangle |^{2}}
La desigualdad proviene en realidad de una identidad, válida para toda base ortonormal.
Como todo conjunto ortonormal de vectores es linealmente independiente, entonces debe existir un número finito de vectores con los cuales puede completarse β hasta obtener un sistema generador de V.
estos m – n vectores ortonormales faltantes, donde m ≥ n. El conjunto que resulta de agregar dichos vectores a β, es decir (2)
{\displaystyle \beta \cup \{\beta _{n+1},\beta _{n+2},\dots ,\beta _{m}\}=\{\beta _{1},\beta _{2},\dots ,\beta _{n},\beta _{n+1},\beta _{n+2},\dots ,\beta _{m}\}}
es una base de V.
Bajo estas condiciones puede demostrarse la siguiente identidad: (3)
{\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{i=1}^{m}\left|\left\langle x,\beta _{i}\right\rangle \right|^{2}.}
sea una base ortonormal permite expresar a cualquier vector x en V como
{\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{m}\left\langle \mathbf {x} ,\beta _{i}\right\rangle \beta _{i}.}
Como la norma inducida por el producto escalar es
{\displaystyle \|\mathbf {x} \|^{2}=\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \right\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{m}\left\langle \mathbf {x} ,\beta _{i}\right\rangle \beta _{i},\mathbf {x} \right\rangle .}
Los axiomas del producto interno y las propiedades del conjugado complejo permiten operar de la siguiente manera:
{\displaystyle \|\mathbf {x} \|^{2}=\sum _{i=1}^{m}\left\langle \mathbf {x} ,\beta _{i}\right\rangle \left\langle \beta _{i},\mathbf {x} \right\rangle =\sum _{i=1}^{m}\left\langle \mathbf {x} ,\beta _{i}\right\rangle {\overline {\left\langle \mathbf {x} ,\beta _{i}\right\rangle }}=\sum _{i=1}^{m}\left|\left\langle \mathbf {x} ,\beta _{i}\right\rangle \right|^{2}}
Hay dos casos posibles: Consiste en separar la sumatoria (3) y eliminar el término positivo que sobra.
i = n + 1
{\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left|\left\langle x,\beta _{i}\right\rangle \right|^{2}+\sum _{i=n+1}^{m}\left|\left\langle x,\beta _{i}\right\rangle \right|^{2}\geq \sum _{i=1}^{n}\left|\left\langle x,\beta _{i}\right\rangle \right|^{2}}