En matemática, la identidad de Lagrange es una identidad relacionada con la factorización de productos y sumas de cuadrados.
En su forma más simple establece: Para cualesquiera números
La forma anterior puede generalizarse a un número arbitrario de variables.
son números (reales o complejos) entonces
1 ≤ i < j ≤ n
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}+\sum _{1\leq i La forma más directa de demostrar la identidad de Lagrange es hacer uso de desarrollos algebraicos demostrando la validez de la identidad no solo para números reales o complejos sino para elementos de cualquier anillo conmutativo. 1 ≤ i < j ≤ n 1 ≤ i < j ≤ n Por otro lado, del binomio al cuadrado y sustituyendo en la suma previa resulta en 1 ≤ i < j ≤ n 1 ≤ i < j ≤ n 1 ≤ i < j ≤ n para cualquier par de subíndices y por tanto se puede factorizar como 1 ≤ i < j ≤ n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i Haciendo la sustitución arroja finalmente 1 ≤ i < j ≤ n {\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)-\sum _{1\leq i equivalente a la identidad que queremos demostrar. como componentes de vectores en , entonces la identidad de Lagrange puede reescribirse en términos de las normas de los vectores y el producto escalar, pues {\displaystyle \Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right),\qquad \Vert \mathbf {b} \Vert ^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)} de manera que la identidad de Lagrange se convierte en: Si son dos vectores de 1 ≤ i < j ≤ n {\displaystyle \Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {b} \Vert ^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}+\sum _{1\leq i , la última suma corresponde al cuadrado de la norma del producto vectorial de los vectores y en dicho caso la identidad de Lagrange se expresa como: Si son dos vectores de