En análisis funcional un operador unitario es un operador lineal U : H → H en un espacio de Hilbert que satisface: donde U∗ es el operador adjunto de U, y I : H → H es el operador identidad.
El hecho de que U tenga un rango denso asegura que tenga inverso U−1.
Además, los operadores unitarios son automorfismos del espacio de Hilbert i.e.
preservan su estructura (en este caso, la estructura lineal del espacio, el producto escalar y por tanto la topología del espacio en el que actúan.
El grupo de todos los operadores unitarios de un espacio de Hilbert dado H se denomina grupo de Hilbert de H, denotado Hilb(H) La condición U∗U = I define la isometría.
Otra condición U U∗ = I define la coisometría Un elemento unitario es una generalización de un operador unitario.
En una álgebra unitaria, un elemento U del álgebra se denomina unitario si: donde I es el elemento identidad.
Como consecuencia de su definición, los valores propios de un operador unitario son fases, es decir, números complejos de módulo unidad.
; de donde deducimos que el valor propio debe ser una fase:
La aplicación en la mecánica cuántica se debe a que a ciertos operadores, como el operador de evolución temporal, se les exige que al aplicarlos sobre un estado dejen invariante la probabilidad.
Esto es posible debido a que estos operadores son unitarios.
el estado inicial de un cierto sistema cuántico en notación bra-ket.
El estado evolucionado en un tiempo t vendrá dado por la actuación del operador de evolución temporal
es un operador unitario se cumple que