Ecuaciones de Euler-Lagrange
Lagrange resolvería el problema en 1755 y enviaría la solución a Euler.
Ambos desarrollarían aún más el método de Lagrange y lo aplicarían a problemas de mecánica; cosa que a su vez conduciría a formular por vez primera la mecánica lagrangiana.
Dicha correspondencia también desembocaría en el desarrollo del cálculo de variaciones, un término acuñado por el mismo Euler en 1766.
, el cual es un punto estacionario del funcional donde: Entonces, la ecuación de Euler–Lagrange está dada por:
correspondientes a los argumentos segundo y tercero, respectivamente.
es mayor a 1, es un sistema de ecuaciones diferenciales, donde cada componente es: En mecánica clásica, estas ecuaciones establecen que la integral de acción para un sistema físico es un mínimo.
Así en teoría de campos y mecánica de medios continuos la acción física puede expresarse como una integral sobre un volumen:
es el elemento de volumen que usualmente viene dado por una n-forma y
representan las variables del campo y sus derivadas respecto a las coordenadas espaciales (o espacio-temporales).
La teoría clásica de campos es un buen ejemplo del caso multidimensional anteriormente descrito.
La densidad lagrangiana de Maxwell viene dada por: (*)
Donde el primer término es el lagrangiano de interacción y el segundo el lagrangiano del campo electromagnético libre y además: Considerando aquí el campo descrito por los potenciales
, los campos eléctrico y magnético son expresables en términos de sus derivadas:
Si a la densidad lagrangiana anterior le agregamos, la densidad lagrangiana de la materia en interacción con el campo electromagnético viene dado por:
Esto se debe a que se encontró que la clásica noción de coordenadas canónicas y momentos es similar a la análoga cuántica, como resultado del cual la totalidad de la teoría clásica hamiltoniana, la cual es justamente una estructura construida sobre esta noción, debería ser tomada sobre todos sus detalles en mecánica cuántica.
Ahora tenemos una formulación alternativa para la dinámica clásica, provista por el lagrangiano.
Esto requiere trabajar en términos de coordenadas y velocidades en lugar de coordenadas y momentos.
Las dos formulaciones son, sin embargo, cercanamente relacionadas, pero hay razones para creer que el lagrangiano es el más fundamental.
En primer lugar, el método lagrangiano nos permite conectar juntas todas las ecuaciones del movimiento y expresarlas como una propiedad estacionaria de una cierta función de acción.
(Esta función de acción es justamente la integral en el tiempo del lagrangiano).
No existe un principio de acción correspondiente en términos de las coordenadas y momentos en la teoría hamiltoniana.
En segundo lugar el método lagrangiano puede fácilmente ser expresado en forma relativista, teniendo en cuenta que la función de acción es invariante relativista; mientras que el método hamiltoniano es esencialmente de forma no relativista, dado que delimita una variable de tiempo particular como la conjugada canónica de la función hamiltoniana.
Por estas razones sería deseable tomar la cuestión de lo que corresponde en la teoría cuántica al método lagrangiano de la teoría clásica.
Una pequeña consideración muestra, sin embargo, que uno no puede esperar ser capaz de tomar las ecuaciones clásicas de Lagrange en una forma directa.
Estas ecuaciones involucran derivadas parciales del lagrangiano respecto a las coordenadas y velocidades y no significa poder tener tales derivadas en mecánica cuántica.
El solo proceso de diferenciación que puede realizarse respecto a las variables dinámicas de la mecánica cuántica es el que forma los corchetes de Poisson y este proceso conduce a la teoría hamiltoniana.
Debemos por lo tanto mirar nuestra teoría cuántica lagrangiana de una manera indirecta.
Debemos intentar tomar las ideas de la teoría lagrangiana clásica, no las ecuaciones de la teoría clásica lagrangiana”.
[2] Como se vio antes, es posible derivar las ecuaciones de la mecánica clásica como las del electromagnetismo a partir del lagrangiano respectivo introducido en las ecuaciones de Euler-Lagrange.
La ecuación anterior de hecho puede, usando la simetría del tensor métrico, escribirse como:
