El teorema de Noether es un resultado central en física teórica.
El teorema se denomina así por la matemática Emmy Noether, que lo formuló en 1916.
Informalmente, el teorema de Noether se puede establecer como: A cada simetría (continua) le corresponde una ley de conservación y viceversa.
El enunciado formal del teorema deriva una expresión para la magnitud física que se conserva (y, por lo tanto, también la define) de la condición de invariancia solamente.
Así, el resultado es una contribución muy importante a la física en general, pues ayuda a proporcionar intuiciones de gran alcance en cualquier teoría general en física, con sólo analizar las diversas transformaciones que harían invariantes la forma de las leyes implicadas.
Cuando el lagrangiano de un sistema físico presenta simetría rotacional, es decir, existe un grupo de transformaciones isomorfo a un subgrupo unidimensional del grupo de rotaciones o grupo especial ortogonal, entonces existe una magnitud física conservada llamada momento angular que tiene un valor constante a lo largo de la evolución temporal.
Análogamente si el lagrangiano de un sistema físico es invariante bajo cierto grupo uniparamétrico de traslaciones entonces existe una componente del momento lineal paralela a dichas traslaciones que no varía con el tiempo, a medida que el sistema evoluciona.
Es decir, a pesar de que el estado de movimiento de una partícula o el estado físico del sistema varíe, dicha magnitud física siempre mantiene el mismo valor, por complicada que sea la evolución del sistema.
De modo similar al caso anterior, la independencia del tiempo del lagrangiano, puede ser vista como una invariancia frente a "traslaciones temporales".
En este caso la magnitud conservada es el Hamiltoniano o la integral de Jacobi-Painlevé.
Es decir, en cualquier evolución temporal del sistema la energía no cambia de valor.
Para un sistema con un número finito de grados de libertad y usando la representación en coordenadas supóngase que se tiene un grupo uniparamétrico G que transforma las coordenadas o variables dinámicas, dejando el lagrangiano invariante, en ese caso:
Empleando las ecuaciones de Euler-Lagrange, el primer término puede reescribirse:
Por tanto, la última cantidad en forma de sumatorio es una constante del movimiento ya que su derivada temporal es cero.
En el contexto de la teoría cuántica de campos la existencia de una simetría gauge abstracta del lagrangiano que describe la interacción electromagnética implica que existe una magnitud conservada que puede identificarse con la carga eléctrica, dado que el grupo de simetría gauge del campo electromagnético es el grupo unitario U(1) la magnitud conservada es un escalar.
Supóngase que se tiene un conjunto cerrado R de dimensión d y una variedad blanco o codominio
Para aclarar ideas particularicemos estas ideas en dos ámbitos diferentes: Para probar el teorema consideraremos el segundo de estos casos (el resultado para sistemas de partículas clásicas se puede probar particularizando la demostración esbozada aquí).
Matemáticamente este funcional resulta ser una aplicación del tipo:
, Para conseguir la versión usual del teorema de Noether, se necesitan restricciones adicionales en la acción física.
Este lagrangiano depende de las variables del campo
cuando x se acerca a ∞, que permitirá hacer la integración por partes).
tales que todas las derivadas funcionales de S en
Ahora, para cualquier N, debido al teorema de Euler-Lagrange, tenemos:
Puesto que la última expresión es cierta para cualquier R, tenemos:
Se puede reconocer inmediatamente esto como la ecuación de continuidad para la corriente
que se llama la corriente de Noether asociada a la simetría.
La ecuación de continuidad dice que si se integra esta corriente sobre una "rebanada" (hipersuperficie) de tipo espacio, se consigue una magnitud conservada llamada la carga de Noether (suponiendo, por supuesto, que si R es no compacto, las corrientes decaen suficientemente rápido en el infinito).
En física cuántica la descripción de un sistema se realiza mediante el lagrangiano cuántico que es un funcional definido sobre el espacio de Hilbert relevante para el sistema.
Podemos exponer una transformación que sea mezcla de diferentes campos:
Todo esto significa que la carga del sistema se conservará: