Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):[1] Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial: Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto.[2] René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables.Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro».La notación f(x) fue utilizada por primera vez por el francés Alexis Claude Clairaut, y por el suizo Leonhard Euler en su obra Commentarii de San petersburgo en 1736.[3][4][5] Inicialmente, una función se identificaba, a efectos prácticos, con una expresión analítica que permitía calcular sus valores.Sin embargo, esta definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores, y no todas las «dependencias» entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera.La tendencia a una mayor abstracción se vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funciones sin expresión analítica o representación geométrica sencillas, o sin relación con ningún fenómeno natural; y por los ejemplos «patológicos» como funciones continuas sin derivada en ningún punto.Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios.Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras.(Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.) Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distintos: La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información.También puede utilizarse una regla o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En este caso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la expresión: donde las magnitudes se expresan unidades del SI.De estos tres modos se refleja que existe una dependencia entre ambas magnitudes.Las funciones también se utilizan para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera, no solo los números.Esta definición es precisa, aunque en matemática se utiliza una definición formal más rigurosa, que construye las funciones como un objeto concreto a partir de la idea de pares ordenados.Las funciones pueden definirse en términos de otros objetos matemáticos, como los conjuntos y los pares ordenados.En la definición extensiva no aparece el concepto de codominio como conjunto potencial donde está contenido el recorrido.En algunas áreas de la matemática es importante preservar esta distinción, y por tanto se usa una definición distinta:[8] Una función es una terna de conjuntos f = (A, B, G(f)), el dominio, el codominio y el grafo de f, tales que: Con esta definición, dos funciones con el mismo grafo son distintas si su codominio no coincide.A las funciones parciales también se las llama correspondencias o relaciones unívocas.Se dice entonces que esta función tiene como dominio y codominio el conjuntose resume la operación o regla que permite obtener el elemento deEn general, estos vendrán dados por el contexto en el que se especifique dicha función.Adicionalmente, algunos autores restringen la palabra «función» para el caso en el que los elementos del conjunto inicial y final son números.Dadas dos funciones, para que sean idénticas han de tener el mismo dominio y codominio, y asignar la misma imagen a cada elemento del dominio: Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D, son iguales o idénticas si se cumple: La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vacía, o contener varios objetos del dominio.Las funciones suprayectivas recorren todo el codominio, por lo que ninguna anti-imagen puede estar vacía.La definición de función suprayectiva asume que esta tiene un codominio especificado previamente.Cuando una función tiene ambas propiedades a la vez, se dice que es una biyección entre ambos conjuntos: Una función f : A → B se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.La condición Im(f) ⊆ C asegura precisamente que este segundo paso se pueda llevar a cabo.La función única sobre un conjunto X que asigna cada elemento a sí mismo se denomina función de identidad para X y, típicamente, se indica con idX.Hay una biyección entre los espacios de función CA × B y (CB) A.
