Gráfica de una función
Más formalmente dada una función: el gráfico es el conjunto de todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y.
Las únicas funciones que se pueden establecer de forma no ambigua mediante líneas, son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada coordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen.
Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva.
Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios y codominios diferentes.
, se llama dominio a los valores de origen
aparecen los siguientes casos: Una norma mnemotécnica para el estudio de la continuidad consiste en ver si para trazar la gráfica de una función se tiene que levantar o no el lápiz, en caso afirmativo diremos que la función no es continua o que hay algún tipo de discontinuidad.
Definida una función: f, de los números reales, sobre los números reales, donde a cada x real se le asocia una y real, representado y = f(x): Sí a medida que la variable x se aproxima a un valor a, la variable y se aproxima a un valor L, diremos que L es el límite de f cuando x tiende a a: Si una función tiene límite en un punto ese límite ha de ser único (unicidad del límite), el valor del límite, en caso de existir no tiene por qué coincidir con el valor de la función en ese punto.
Una función con una variable dependiente y otra independiente se puede representar gráficamente en un eje de ordenadas y abscisas correspondiendo el valor de cada variable a la posición en los ejes.
Para dibujar, construir o representar la gráfica de una función
se pueden seguir los pasos siguientes: El signo de una función en un punto esta determinado por el signo que tiene el valor de la coordenada y (es decir, el correspondiente a la imagen).
Llamamos Conjunto de Positividad al conjunto de valores del dominio cuyas imágenes son positivas.
} Llamamos Conjunto de Negatividad al conjunto de valores del dominio cuyas imágenes son negativas.
Si una función f(x) es continua en un intervalo (a,b) y tiene distintos signos en los extremos del mismo, entonces la función tiene por lo menos una raíz real en ese intervalo.
Esto podemos interpretarlo como, si una función cambia de signo es porque necesariamente pasó por una raíz, ya que para poder pasar de valores positivos a negativos (o de negativos a positivos) tiene que pasar por el 0 (y este 0 es una raíz).
Este teorema se puede utilizar para saber el signo de una función en todo su dominio.
[1] Una ecuación de primer grado es fácilmente representada en un eje conociendo sus propiedades.
En una ecuación de primer grado el número que corresponde a
corresponde a la tangente del ángulo que forma la recta respecto al eje de abscisas.
corresponde al punto que corta el eje de ordenadas.
Ejemplo Vamos a representar la función polinómica de primer grado.
En primer lugar, necesitamos dos puntos de la recta.
Para ello vamos a usar los puntos en los que la función corta los ejes.
debemos seguir los siguientes pasos: Vamos a estudiar la representación gráfica de la función: Los puntos en los que la función no existe son los que el denominador vale 0.
Por lo tanto: Cortes eje x es cuando el numerador vale 0: Cortes eje y es el valor de la función para x= 0: El signo de un intervalo no cambia a menos que haya una discontinuidad o un corte en el eje
Por tanto, para estudiar el signo vamos a usar los intervalos dónde tenemos la seguridad que el signo no va a cambiar, que son los siguientes:
Los extremos relativos se encuentran buscando los valores por los que
Por lo tanto, primero debemos encontrar la derivada de la función: Y ahora buscar los valores por los cuales vale cero: No tiene solución, por lo que no habrá extremos relativos.
Vamos a estudiar los intervalos en los que la primera derivada es positiva o negativa, es decir, los intervalos en los que la función crece o decrece.
Por lo que la función crece en la totalidad de sus puntos.
La función está definida para todo x real, excepto para los puntos de discontinuidad: x= -3 y x=-2, en el primer punto presenta una discontinuidad evitable, dándole el valor (-3,2), en el segundo la discontinuidad es asintótica, siendo la recta vertical x= -2 la asintota.
