Grupo euclídeo

El grupo euclídeo E(n) comprende todas las traslaciones, rotaciones y reflexiones de 𝔼n; y las combinaciones finitas arbitrarias de estas transformaciones.Las isometrías que invierten la orientación se llaman indirectas.De esta definición se deduce que una función f: [0,1] → E(n) es continua si y solo si, para cualquier punto p de 𝔼n, la función fp: [0,1] → 𝔼n definida por fp(t) = (f(t)) (p) es continua.Dicha función se denomina "trayectoria continua" en E(n).Las trayectorias continuas en E(3) juegan un papel importante en mecánica clásica, porque describen los movimientos físicamente posibles de un cuerpo rígido en el espacio tridimensional en el tiempo.Se toma f(0) como la función identidad I de 𝔼3, que describe la posición inicial del cuerpo.Por esta razón, las isometrías euclidianas directas también se denominan movimientos rígidos.Esto da, a fortiori, dos formas de escribir estos elementos en una notación explícita.Estas son: Los detalles de la primera representación se dan en la siguiente sección.Según los términos del Programa de Erlangen formulados por Felix Klein, se deduce que la geometría euclidiana, la geometría del grupo euclidiano de simetrías, es, por lo tanto, una especialización de la geometría afín, y se aplican todos los teoremas afines.Véanse también las isometrías en 3D que dejan el origen fijo, el grupo espacial, y la involución.