Rotación impropia

[5]​ Hay varios sistemas diferentes para nombrar rotaciones impropias individuales: El subgrupo directo, índice 2, es Cn, [n] +, (nn), orden n, como el generador de rotación aplicado dos veces.

En un sentido más amplio, una rotación impropia puede definirse como cualquier isometría indirecta; es decir, un elemento de E (3)/E+(3): por lo tanto, también puede ser una reflexión pura en un plano, o poseer una reflexión deslizada.

Una isometría indirecta es una transformación afín con una matriz ortogonal que tiene un determinante de valor −1.

Una isometría directa es una transformación afín con una matriz ortogonal que tiene un determinante de 1.

Cuando se estudia la simetría de un sistema físico con una rotación impropia (por ejemplo, si un sistema tiene un plano de simetría especular), es importante distinguir entre vector y vector axial (así como entre escalares y pseudoescalares, y en general entre cálculo tensorial y pseudotensorial), ya que los últimos se transforman de manera diferente bajo rotaciones propias e impropias (en 3 dimensiones, los pseudovectores son invariantes bajo inversión).