Grupos de puntos en tres dimensiones
O(3) en sí mismo es un subgrupo del grupo euclídeo E(3) de todas las isometrías.
Todas las isometrías de un objeto 3D acotado (finito) tienen uno o más puntos fijos comunes.
Se pueden crear grupos abelianos no cíclicos agregando más rotaciones alrededor del mismo eje.
También hay grupos no abelianos generados por rotaciones alrededor de diferentes ejes.
Serán infinitos a menos que las rotaciones se elijan especialmente.
Todos los grupos infinitos mencionados hasta ahora no son cerrados como subgrupos topológicos de O(3).
Aquí se analizan los subgrupos topológicamente cerrados de O(3).
Las series infinitas de grupos axiales o prismáticos tienen un índice n, que puede ser cualquier número entero.
Pueden entenderse como grupos de puntos en dos dimensiones extendidos con una coordenada axial y reflexiones en ella.
La serie de elementos resultante es: Para n impar se tiene que Z2n = Zn × Z2 y Dih2n = Dihn × Z2.
Un objeto típico con el grupo de simetría Cn o Dn es una hélice.
Este nuevo grupo de orden 4n se denomina Dnh.
Nota: en 2D, Dn incluye reflexiones, que también se pueden ver como voltear objetos planos sin distinción de anverso y reverso; pero en 3D, se distinguen las dos operaciones: Dn incluye la operación de voltear, pero no las reflexiones.
Hay un grupo más en esta familia, llamado Dnd (o Dnv), que tiene planos especulares verticales que contienen el eje de rotación principal, pero en lugar de tener un plano especular horizontal, tiene una isometría que combina una reflexión en el plano horizontal y una rotación en un ángulo de 180°/n.
Para n impar esto es igual al grupo generado por los dos por separado, Cnh de orden 2n, y por lo tanto no se necesita la notación Sn.
Sin embargo, para n par es distinto, y de orden n. Al igual que Dnd, contiene distintas rotaciones impropias pero sin contener a las rotaciones correspondientes.
"Igual" se entiende aquí como lo mismo, pero sin considerar elementos conjugados en el espacio.
Esta condición es menos restrictiva que "sin considerar isomorfismos algebraicos".
Es un subgrupo normal de Td, Th, y las simetrías octaédricas.
Posee seis planos de simetría, cada uno de los cuales contiene dos aristas del cubo o una arista del tetraedro, un único eje S4 y dos ejes C3 ejes.
En particular, los grupos diédricos D3, D4, etc. son los grupos de rotación de polígonos regulares planos incrustados en un espacio tridimensional, y tal figura puede considerarse como un prisma regular degenerado.
En consecuencia, O(3) es el producto directo de SO(3) y el grupo de inversión Ci (donde la inversión se denota por su matriz −I): Por lo tanto, existe una correspondencia 1 a 1 entre todas las isometrías directas y todas las isometrías indirectas, a través de la inversión.
Así M se obtiene de H invirtiendo las isometrías en H ∖ L. Este grupo M es, cuando se considera como un grupo abstracto, isomorfo a H. Por el contrario, para todos los grupos de puntos M que contienen isometrías indirectas pero sin inversión, se puede obtener un grupo de rotación H invirtiendo las isometrías indirectas.
Dado que cualquier subgrupo de índice dos es normal, el grupo de rotaciones (Cn) es normal tanto en el grupo (Cnv) obtenido al sumar a (Cn) planos especulares a través de su eje y en el grupo (Cnh) obtenido sumando a (Cn) un plano de reflexión perpendicular a su eje.
Para n impar, esto ya está cubierto anteriormente, por lo que aquí se obtiene D2nh de orden 8n, que es del tipo de grupo abstracto Dih2n × Z2 (n≥1).
Así se obtienen, con los 3 grupos de puntos cristalográficos diédricos en negrita: etc.
Para un poliedro, esta superficie en el dominio fundamental puede ser parte de un plano arbitrario.
Por ejemplo, en un hexaquisicosaedro el dominio fundamental de la simetría icosaédrica es una cara completa.
Ajustar la orientación del plano brinda varias posibilidades de combinar dos o más caras adyacentes en una, dando varios otros poliedros con la misma simetría.
Los grupos poliédricos binarios son subgrupos discretos de un grupo de Spin, y bajo una representación del grupo de Spin actúan sobre un espacio vectorial, y pueden estabilizar un poliedro según esta representación – bajo la aplicación Spin(3) → SO(3) actúan sobre el mismo poliedro sobre el que actúa el grupo subyacente (no binario), mientras que bajo la representación de spin u otras representaciones pueden estabilizar otros poliedros.
