Grupo del papel pintado
Considérense los siguientes ejemplos: Los ejemplos A y B pertenecen al mismo grupo del papel pintado; se llama p4m en la notación IUC y *442 en la notación orbifold.
El ejemplo C pertenece a un grupo diferente, llamado p4g o 4*2.
Por ejemplo, la simetría traslacional está presente cuando el patrón puede trasladarse (desplazarse) a cierta distancia finita y aparecer sin cambios.
Estrictamente hablando, una verdadera simetría solo existe en patrones que se repiten exactamente y continúan indefinidamente.
A veces, dos categorizaciones son significativas, una basada solo en formas y otra que incluya colores.
Los tipos de transformaciones que son relevantes aquí se denominan isometrías del plano euclídeo.
La condición de las traslaciones linealmente independientes significa que existen vectores linealmente independientes v y w (en R2) de modo que el grupo contiene Tv y Tw.
En otras palabras, los grupos del papel pintado representan patrones que se repiten en dos direcciones distintas, en contraste con los grupos del friso, que solo se repiten en un solo eje.
Sin esta condición, se podría tener, por ejemplo, un grupo que contenga la traslación Tx para cada número racional x, que no correspondería a ningún patrón del papel pintado razonable.
Para los grupos del papel pintado, la notación completa comienza con p o c, según disponga de una celda primitiva o de una celda centrada en la cara (conceptos que se explican a continuación).
El eje del espejo o la reflexión de deslizamiento es perpendicular al eje principal de la primera letra, y puede ser paralelo o inclinado 180°/n (cuando n > 2) para la segunda letra.
Aquí están todos los nombres que difieren en notación corta y completa.
Compárese esto con pmg, según Conway 22*, donde la notación cristalográfica menciona un deslizamiento, pero uno que está implícito en las otras simetrías del orbifold.
Cuando un orbifold se replica por simetría para llenar el plano, sus características crean una estructura de vértices, aristas y caras poligonales, que deben ser consistentes con la característica de Euler.
Cuando la característica orbifold de Euler es negativa, el mosaico es hiperbólico; cuando es positiva, se denomina esférica o mala.
Para determinar qué grupo del papel pintado corresponde a un diseño dado, se puede usar la siguiente tabla:[3] Véase también esta descripción general con diagramas.
El área marrón o amarilla indica un dominio fundamental, es decir, la parte más pequeña del patrón que se repite.
(Los primeros tres tienen un eje de simetría vertical, y los dos últimos tienen uno diagonal diferente) Sin los detalles dentro de las bandas en zigzag, el tapete es pmg con los detalles pero sin la distinción entre marrón y negro es pgg.
Ejemplos mostrados con las traslaciones más pequeñas horizontales y verticales (como en el diagrama): Ejemplos mostrados con la diagonal de traslación más pequeña: Imagínese una teselación del plano con triángulos equiláteros de igual tamaño, con los lados correspondientes a las traslaciones más pequeñas.
En términos de la imagen: los vértices pueden ser los triángulos rojo, azul o verde.
Entonces este grupo del papel pintado corresponde al caso de que todos los hexágonos son iguales (y con la misma orientación) y tienen simetría rotacional de orden tres, mientras que no poseen simetría de imagen especular (si tienen simetría rotacional de orden seis se trata de p6, si son simétricos con respecto a las diagonales principales corresponde a p31m, si son simétricos con respecto a las líneas perpendiculares a los lados se tiene p3m1; si dos de los tres se aplican, el tercero también, y se tiene p6m).
En términos de la imagen: los vértices pueden ser los triángulos rojo, azul oscuro o verde.
En términos de la imagen: los vértices no pueden ser triángulos azul oscuro.
Un patrón con esta simetría se puede considerar como una teselación del plano con mosaicos triangulares iguales con simetría C3, o de manera equivalente, una teselación del plano con mosaicos hexagonales iguales con simetría C6 (con los bordes de los mosaicos no necesariamente parte del patrón).
Un patrón con esta simetría puede considerarse como una teselación del plano con mosaicos triangulares iguales con simetría D3, o de manera equivalente, una teselación del plano con mosaicos hexagonales iguales con simetría D6 (con los bordes de los mosaicos no necesariamente parte del patrón).
