Dominio fundamental
Un dominio fundamental (también área o región fundamental) es una subárea conexa de un objeto geométrico o físico con simetría, que se elige de tal manera que en ella no figuran repetidas propiedades geométricas o físicas de otras partes del objeto total.
La simetría significa que estas propiedades de un área espacial están presentes varias veces en el objeto.
Si se debe a una simetría del objeto, entonces un dominio fundamental es un medio conveniente para describir el objeto que está libre de estas redundancias.
En tal caso, es posible y debe limitarse un dominio fundamental por razones prácticas.
Estrictamente hablando, los gráficos 2D que se muestran no significan objetos planos, sino objetos 3D prismáticos cuyas propiedades no dependen de la tercera dimensión (el eje z) del espacio euclídeo.
Se puede elegir libremente el dominio fundamental en la que centrarse entre varias (o infinitas).
En lugar del dominio fundamental que se muestra en el primer gráfico, se podría haber elegido uno de los otros siete sectores de simetría en el segundo gráfico.
En física computacional, el dominio fundamental suele seleccionarse de acuerdo con aspectos prácticos y técnicos de programación, por ejemplo: ¿Qué dominio fundamental es descriptivo, cuál es el preferido en un área temática?
Un dominio fundamental con respecto a una acción es un subconjunto contiguo específico de un espacio topológico.
Por lo general, se requiere que un dominio fundamental sea un subconjunto conexo con algunas restricciones en su límite, por ejemplo, suave o poliédrico.
Un dominio fundamental siempre contiene una ación U, un conjunto abierto movido por G en copias disjuntas, y casi tan adecuada como D para representar las órbitas.
Con frecuencia, se requiere que D sea un conjunto completo de coconjuntos representativos con algunas repeticiones, pero la parte repetida tiene una medida cero.
Si se usa un dominio fundamental para calcular una integral en X/G, los conjuntos de medida cero no importan.
Para construir un dominio fundamental de H/Γ, también se debe considerar cómo asignar puntos en el límite, teniendo cuidado de no contar dos veces dichos puntos.
En las ciencias naturales, además del hecho mencionado de que se comparan áreas del espacio y no puntos, hay dos aspectos más: Al elegir un área fundamental física, primero se comenzará con la geométrica y luego se tendrán que incluir las condiciones de relleno del área espacial y las condiciones de contorno en su límite exterior.
Las condiciones de contorno externas son condiciones de contorno para el "espacio exterior" y están definidas por el entorno del objeto.
Por ejemplo, si se desea calcular numéricamente la distribución de temperatura cuando se enfría un cubo homogéneo calentado homogéneamente (en un momento dado), el rango fundamental geométrico del cubo (véase más abajo) solo es útil si las condiciones de contorno también se ajustan.
Se utilizan simetrías existentes o incluso se introducen simetrías artificialmente, por ejemplo, se reemplaza un cuadrado por un círculo de la misma área para ahorrar espacio de almacenamiento y tiempo de cálculo,[5] en la medida en que esto sea físicamente justificable.
Este es un enfoque que se remonta directamente a Wigner y Seitz, quienes reemplazaron un poliedro por una esfera de igual volumen.
Hilbert y Cohn-Vossen publicaron en 1932 que: En sus célebres Problemas del año 1900, Hilbert se preguntaba si existen poliedros en el espacio tridimensional que no aparecen como el dominio fundamental de un grupo de movimiento, pero con los que se pueda teselar todo el espacio sin huecos.
Karl Reinhardt pudo demostrar por primera vez en 1928 que este es el caso.
[6] Poco después, en 1932, Heinrich Heesch encontró una solución de este tipo también para el plano.
Es algo más complicado encontrar la forma geométrica del dominio fundamental de un cubo homogéneo.
El cubo se puede descomponer en sus 48 dominios fundamentales (equivalentes) haciendo cortes en los 24 planos de simetría especular.
El resultado se muestra en la figura dominios fundamentales de un cubo homogéneo.
Hay dos tipos de dominios fundamentales que son simétricos especularmente.
Aunque tienen un color diferente, las propiedades (físicas) de los dos tipos son las mismas.
Juntas, las áreas fundamentales del cubo (y también del octaedro) se pueden ilustrar mediante una proyección central desde el punto fijo sobre una esfera envolvente, como se muestra en la figura.
Los planos de simetría especular intersecan a la esfera en círculos máximos.
Una introducción interesante y bien ilustrada al tema Regiones fundamentales de poliedros ha sido colocada en la página en línea Spektrum.
